Номер 116, страница 179 - гдз по алгебре 11 класс учебник Арефьева, Пирютко

116. Найдите значение выражения:

a) $3^{\log_3 29}$;

б) $2^{3 + \log_2 7}$;

в) $5^{1 - \log_5 13}$;

г) $7^{4\log_7 3}$;

д) $100^{\lg 7}$;

е) $125^{-\log_5 2}$.

а) $3^{\log_3 29}$

Для решения воспользуемся основным логарифмическим тождеством: $a^{\log_a b} = b$.

В данном случае, основание степени $a=3$ совпадает с основанием логарифма. Значит, значение выражения равно числу под знаком логарифма.

$3^{\log_3 29} = 29$

Ответ: 29

б) $2^{3 + \log_2 7}$

Используем свойство степеней $a^{m+n} = a^m \cdot a^n$.

$2^{3 + \log_2 7} = 2^3 \cdot 2^{\log_2 7}$

Вычислим каждый множитель отдельно.

$2^3 = 8$

Для второго множителя применим основное логарифмическое тождество $a^{\log_a b} = b$.

$2^{\log_2 7} = 7$

Перемножим полученные значения:

$8 \cdot 7 = 56$

Ответ: 56

в) $5^{1 - \log_5 13}$

Используем свойство степеней $a^{m-n} = \frac{a^m}{a^n}$.

$5^{1 - \log_5 13} = \frac{5^1}{5^{\log_5 13}}$

Знаменатель вычислим по основному логарифмическому тождеству $a^{\log_a b} = b$.

$5^{\log_5 13} = 13$

Подставим значения в дробь:

$\frac{5}{13}$

Ответ: $\frac{5}{13}$

г) $7^{4\log_7 3}$

Воспользуемся свойством логарифма $c \cdot \log_a b = \log_a (b^c)$, чтобы преобразовать показатель степени.

$4\log_7 3 = \log_7 (3^4) = \log_7 81$

Теперь подставим это обратно в исходное выражение:

$7^{\log_7 81}$

Применим основное логарифмическое тождество $a^{\log_a b} = b$.

$7^{\log_7 81} = 81$

Ответ: 81

д) $100^{\lg 7}$

Запись $\lg 7$ означает десятичный логарифм, то есть $\log_{10} 7$.

Представим основание степени 100 как степень числа 10, чтобы оно совпадало с основанием логарифма: $100 = 10^2$.

$100^{\lg 7} = (10^2)^{\log_{10} 7}$

Используем свойство степеней $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$.

$(10^2)^{\log_{10} 7} = 10^{2 \cdot \log_{10} 7}$

Теперь используем свойство логарифма $c \cdot \log_a b = \log_a (b^c)$.

$10^{2 \cdot \log_{10} 7} = 10^{\log_{10} (7^2)} = 10^{\log_{10} 49}$

Наконец, применим основное логарифмическое тождество $a^{\log_a b} = b$.

$10^{\log_{10} 49} = 49$

Ответ: 49

е) $125^{-\log_5 2}$

Представим основание степени 125 как степень числа 5: $125 = 5^3$.

$125^{-\log_5 2} = (5^3)^{-\log_5 2}$

Используем свойство степеней $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$.

$(5^3)^{-\log_5 2} = 5^{3 \cdot (-\log_5 2)} = 5^{-3\log_5 2}$

Теперь воспользуемся свойством логарифма $c \cdot \log_a b = \log_a (b^c)$.

$5^{-3\log_5 2} = 5^{\log_5 (2^{-3})}$

Вычислим значение $2^{-3}$: $2^{-3} = \frac{1}{2^3} = \frac{1}{8}$.

Выражение принимает вид: $5^{\log_5 (\frac{1}{8})}$

По основному логарифмическому тождеству $a^{\log_a b} = b$ получаем:

$5^{\log_5 (\frac{1}{8})} = \frac{1}{8}$

Ответ: $\frac{1}{8}$