Номер 117, страница 179 - гдз по алгебре 11 класс учебник Арефьева, Пирютко

117. Определите знак числа:

а) $\log_{0,2} 5;$

б) $\log_{0,2} \frac{1}{6};$

в) $\lg 23;$

г) $\lg 0,9.$

Для определения знака логарифма $\log_a b$ необходимо сравнить основание $a$ и число под логарифмом $b$ с единицей. Знак зависит от того, является ли логарифмическая функция возрастающей ($a > 1$) или убывающей ($0 < a < 1$).

а) Определим знак числа $\log_{0.2} 5$.

Основание логарифма $a = 0.2$. Так как $0 < 0.2 < 1$, логарифмическая функция $y = \log_{0.2} x$ является убывающей.

Число под знаком логарифма $b = 5$. Так как $b > 1$, мы можем сравнить значение логарифма со значением в точке 1. Для любой убывающей функции, если аргумент больше 1, значение функции будет меньше, чем ее значение в точке 1.

Следовательно, $\log_{0.2} 5 < \log_{0.2} 1$.

Поскольку $\log_a 1 = 0$ для любого основания $a$, то $\log_{0.2} 1 = 0$.

Таким образом, $\log_{0.2} 5 < 0$. Число является отрицательным.

Ответ: знак минус (число отрицательное).

б) Определим знак числа $\log_{0.2} \frac{1}{6}$.

Основание логарифма $a = 0.2$. Так как $0 < 0.2 < 1$, логарифмическая функция $y = \log_{0.2} x$ является убывающей.

Число под знаком логарифма $b = \frac{1}{6}$. Так как $0 < b < 1$, мы можем сравнить значение логарифма со значением в точке 1. Для убывающей функции, если аргумент меньше 1, значение функции будет больше, чем ее значение в точке 1.

Следовательно, $\log_{0.2} \frac{1}{6} > \log_{0.2} 1$.

Поскольку $\log_{0.2} 1 = 0$, получаем $\log_{0.2} \frac{1}{6} > 0$. Число является положительным.

Ответ: знак плюс (число положительное).

в) Определим знак числа $\lg 23$.

Запись $\lg 23$ означает десятичный логарифм, то есть логарифм по основанию 10: $\lg 23 = \log_{10} 23$.

Основание логарифма $a = 10$. Так как $a > 1$, логарифмическая функция $y = \lg x$ является возрастающей.

Число под знаком логарифма $b = 23$. Так как $b > 1$, мы можем сравнить значение логарифма со значением в точке 1. Для возрастающей функции, если аргумент больше 1, значение функции также будет больше, чем ее значение в точке 1.

Следовательно, $\lg 23 > \lg 1$.

Поскольку $\lg 1 = 0$, получаем $\lg 23 > 0$. Число является положительным.

Ответ: знак плюс (число положительное).

г) Определим знак числа $\lg 0.9$.

Это десятичный логарифм, $\lg 0.9 = \log_{10} 0.9$.

Основание логарифма $a = 10$. Так как $a > 1$, логарифмическая функция $y = \lg x$ является возрастающей.

Число под знаком логарифма $b = 0.9$. Так как $0 < b < 1$, мы можем сравнить значение логарифма со значением в точке 1. Для возрастающей функции, если аргумент меньше 1, значение функции также будет меньше, чем ее значение в точке 1.

Следовательно, $\lg 0.9 < \lg 1$.

Поскольку $\lg 1 = 0$, получаем $\lg 0.9 < 0$. Число является отрицательным.

Ответ: знак минус (число отрицательное).