Номер 118, страница 179 - гдз по алгебре 11 класс учебник Арефьева, Пирютко

118. Воспользуйтесь свойствами логарифмов и вычислите:

а) $\log_{3} 2,7 + \log_{3} 10;$

б) $\lg 13 - \lg 1,3;$

в) $\frac{\lg 81}{\lg 3};$

г) $\log_{81} 243;$

д) $\log_{\sqrt{3}} 2 + \log_{3} 2,25;$

е) $\log_{7} 3 \cdot \log_{3} 49.$

а) Для вычисления суммы логарифмов с одинаковым основанием воспользуемся свойством $\log_a x + \log_a y = \log_a (x \cdot y)$.
$\log_3 2,7 + \log_3 10 = \log_3 (2,7 \cdot 10) = \log_3 27$.
По определению логарифма, нужно найти степень, в которую нужно возвести основание 3, чтобы получить число 27. Так как $3^3 = 27$, то $\log_3 27 = 3$.
Ответ: 3

б) Для вычисления разности логарифмов с одинаковым основанием воспользуемся свойством $\log_a x - \log_a y = \log_a \frac{x}{y}$. Запись $\lg$ означает десятичный логарифм, то есть логарифм по основанию 10.
$\lg 13 - \lg 1,3 = \lg \frac{13}{1,3} = \lg 10$.
По определению логарифма, так как $10^1 = 10$, то $\lg 10 = 1$.
Ответ: 1

в) Воспользуемся формулой перехода к новому основанию $\log_b a = \frac{\log_c a}{\log_c b}$ или свойством логарифма степени $\log_a x^p = p \log_a x$.
Используя свойство степени, представим 81 как $3^4$:
$\frac{\lg 81}{\lg 3} = \frac{\lg 3^4}{\lg 3} = \frac{4 \cdot \lg 3}{\lg 3}$.
Сократив $\lg 3$ в числителе и знаменателе, получаем 4.
Ответ: 4

г) Чтобы вычислить $\log_{81} 243$, представим основание и аргумент логарифма в виде степеней одного и того же числа. В данном случае это число 3.
$81 = 3^4$ и $243 = 3^5$.
Подставим эти значения в исходное выражение: $\log_{81} 243 = \log_{3^4} 3^5$.
Воспользуемся свойством $\log_{a^k} b^m = \frac{m}{k} \log_a b$:
$\log_{3^4} 3^5 = \frac{5}{4} \log_3 3 = \frac{5}{4} \cdot 1 = \frac{5}{4}$.
Ответ: $\frac{5}{4}$

д) Приведем логарифмы к одному основанию. Заметим, что $\sqrt{3} = 3^{1/2}$ и $2,25 = \frac{9}{4}$.
Преобразуем первый член, используя свойство $\log_{a^k} b = \frac{1}{k}\log_a b$:
$\log_{\sqrt{3}} 2 = \log_{3^{1/2}} 2 = \frac{1}{1/2}\log_3 2 = 2\log_3 2$.
Используя свойство $p\log_a x = \log_a x^p$, получаем: $2\log_3 2 = \log_3 2^2 = \log_3 4$.
Теперь исходное выражение имеет вид: $\log_3 4 + \log_3 2,25$.
Используем свойство суммы логарифмов: $\log_3 4 + \log_3 2,25 = \log_3(4 \cdot 2,25) = \log_3(4 \cdot \frac{9}{4}) = \log_3 9$.
Так как $3^2=9$, то $\log_3 9 = 2$.
Ответ: 2

е) Для вычисления произведения логарифмов воспользуемся их свойствами.
Сначала преобразуем второй множитель, используя свойство логарифма степени $\log_a x^p = p \log_a x$:
$\log_3 49 = \log_3 7^2 = 2 \log_3 7$.
Теперь исходное выражение имеет вид: $\log_7 3 \cdot (2 \log_3 7) = 2 \cdot \log_7 3 \cdot \log_3 7$.
Воспользуемся свойством, вытекающим из формулы перехода к новому основанию: $\log_b a = \frac{1}{\log_a b}$.
Произведение $\log_7 3 \cdot \log_3 7 = \log_7 3 \cdot \frac{1}{\log_7 3} = 1$.
Следовательно, итоговое значение выражения равно $2 \cdot 1 = 2$.
Ответ: 2