Номер 114, страница 179 - гдз по алгебре 11 класс учебник Арефьева, Пирютко

114. Вычислите:

а) $\log_3 81$;

б) $\log_2 \frac{1}{8}$;

в) $\log_{49} 7$;

г) $\log_2 1$;

д) $\lg \sqrt[3]{10}$;

е) $\log_{\sqrt{5}} 25$.

а) Для вычисления $\log_3 81$ необходимо найти показатель степени, в которую нужно возвести основание 3, чтобы получить число 81. Обозначим этот показатель как $x$, тогда $3^x = 81$.
Поскольку $81$ это $3^4$ ($3 \times 3 = 9$, $9 \times 9 = 81$), мы можем записать уравнение как $3^x = 3^4$.
Отсюда следует, что $x=4$.
Ответ: 4.

б) Для вычисления $\log_2 \frac{1}{8}$ найдем показатель степени $x$, для которого выполняется равенство $2^x = \frac{1}{8}$.
Мы знаем, что $8 = 2^3$. Используя свойство степени $a^{-n} = \frac{1}{a^n}$, мы можем представить $\frac{1}{8}$ как $2^{-3}$.
Таким образом, уравнение принимает вид $2^x = 2^{-3}$.
Отсюда $x=-3$.
Ответ: -3.

в) Для вычисления $\log_{49} 7$ найдем показатель степени $x$, такой что $49^x = 7$.
Так как квадратный корень из 49 равен 7, мы можем записать 7 как $49$ в степени $\frac{1}{2}$, то есть $7 = \sqrt{49} = 49^{\frac{1}{2}}$.
Уравнение принимает вид $49^x = 49^{\frac{1}{2}}$.
Следовательно, $x = \frac{1}{2}$.
Ответ: $\frac{1}{2}$.

г) Для вычисления $\log_2 1$ найдем показатель степени $x$, при котором $2^x = 1$.
По определению степени, любое число (кроме нуля), возведенное в степень 0, равно 1.
Следовательно, $x=0$.
Ответ: 0.

д) Выражение $\lg \sqrt[3]{10}$ является десятичным логарифмом, то есть логарифмом по основанию 10. Запишем его как $\log_{10} \sqrt[3]{10}$.
Представим корень в виде степени: $\sqrt[3]{10} = 10^{\frac{1}{3}}$.
Тогда выражение примет вид $\log_{10} (10^{\frac{1}{3}})$.
Используя свойство логарифма $\log_a (a^k) = k$, получаем: $\log_{10} (10^{\frac{1}{3}}) = \frac{1}{3}$.
Ответ: $\frac{1}{3}$.

е) Для вычисления $\log_{\sqrt{5}} 25$ найдем показатель степени $x$, для которого $(\sqrt{5})^x = 25$.
Представим основание логарифма и его аргумент как степени числа 5:
$\sqrt{5} = 5^{\frac{1}{2}}$
$25 = 5^2$
Подставим эти значения в исходное уравнение: $(5^{\frac{1}{2}})^x = 5^2$.
По свойству степени $(a^m)^n = a^{mn}$ получаем $5^{\frac{x}{2}} = 5^2$.
Приравнивая показатели степеней, имеем $\frac{x}{2} = 2$, откуда $x=4$.
Ответ: 4.