Номер 110, страница 178 - гдз по алгебре 11 класс учебник Арефьева, Пирютко

110. Запишите в виде степени с рациональным показателем выражение:

а) $\sqrt[3]{a}$;

б) $\sqrt[5]{a^3}$;

в) $\sqrt{a}$;

г) $\sqrt{a^5}$.

Для решения данной задачи необходимо использовать определение степени с рациональным показателем, которое устанавливает связь между корнем и степенью: $\sqrt[n]{a^m} = a^{\frac{m}{n}}$. Здесь $n$ является показателем корня (натуральное число, $n \ge 2$), а $m$ — показателем степени подкоренного выражения.

а) В выражении $\sqrt[3]{a}$ показатель корня $n = 3$. Подкоренное выражение $a$ можно представить как $a^1$, следовательно, показатель степени $m = 1$. Применяя формулу, получаем: $\sqrt[3]{a} = a^{\frac{1}{3}}$.
Ответ: $a^{\frac{1}{3}}$

б) В выражении $\sqrt[5]{a^3}$ показатель корня $n = 5$, а показатель степени подкоренного выражения $m = 3$. Используя ту же формулу, получаем: $\sqrt[5]{a^3} = a^{\frac{3}{5}}$.
Ответ: $a^{\frac{3}{5}}$

в) Выражение $\sqrt{a}$ — это квадратный корень. Для квадратного корня показатель корня по умолчанию принимается равным $n = 2$. Показатель степени подкоренного выражения $a$ равен $m = 1$. Таким образом, $\sqrt{a} = \sqrt[2]{a^1} = a^{\frac{1}{2}}$.
Ответ: $a^{\frac{1}{2}}$

г) В выражении $\sqrt{a^5}$ мы также имеем дело с квадратным корнем, где показатель корня $n = 2$. Показатель степени подкоренного выражения $m = 5$. Следовательно, по формуле получаем: $\sqrt{a^5} = a^{\frac{5}{2}}$.
Ответ: $a^{\frac{5}{2}}$