Номер 105, страница 178 - гдз по алгебре 11 класс учебник Арефьева, Пирютко

105. Определите, рациональным или иррациональным числом является значение выражения:

а) $(\sqrt[3]{24} - \sqrt[3]{3}) \cdot \sqrt[3]{9}$;

б) $4\sqrt[4]{2} \cdot (\sqrt[4]{162} + 5\sqrt[4]{32})$;

в) $(2\sqrt{3} - \sqrt{384}) : \sqrt{3}$.

а) Для того чтобы определить, является ли значение выражения $(\sqrt[3]{24} - \sqrt[3]{3}) \cdot \sqrt[3]{9}$ рациональным или иррациональным числом, упростим его.
Сначала упростим корень из 24, вынеся множитель из-под знака корня: $\sqrt[3]{24} = \sqrt[3]{8 \cdot 3} = \sqrt[3]{8} \cdot \sqrt[3]{3} = 2\sqrt[3]{3}$.
Подставим это значение в исходное выражение:
$(2\sqrt[3]{3} - \sqrt[3]{3}) \cdot \sqrt[3]{9}$
Выполним вычитание в скобках:
$2\sqrt[3]{3} - \sqrt[3]{3} = (2-1)\sqrt[3]{3} = \sqrt[3]{3}$.
Теперь выражение выглядит так:
$\sqrt[3]{3} \cdot \sqrt[3]{9}$.
Используя свойство произведения корней $\sqrt[n]{a} \cdot \sqrt[n]{b} = \sqrt[n]{ab}$, получаем:
$\sqrt[3]{3 \cdot 9} = \sqrt[3]{27}$.
Вычисляем кубический корень из 27:
$\sqrt[3]{27} = 3$.
Число 3 является целым, а значит, и рациональным числом, так как его можно представить в виде дроби $\frac{3}{1}$.
Ответ: рациональное число.

б) Рассмотрим выражение $4\sqrt[4]{2} \cdot (\sqrt[4]{162} + 5\sqrt[4]{32})$.
Упростим корни в скобках, вынеся множители из-под знака корня:
$\sqrt[4]{162} = \sqrt[4]{81 \cdot 2} = \sqrt[4]{3^4 \cdot 2} = 3\sqrt[4]{2}$.
$\sqrt[4]{32} = \sqrt[4]{16 \cdot 2} = \sqrt[4]{2^4 \cdot 2} = 2\sqrt[4]{2}$.
Подставим упрощенные значения в выражение:
$4\sqrt[4]{2} \cdot (3\sqrt[4]{2} + 5 \cdot (2\sqrt[4]{2}))$.
Упростим выражение в скобках:
$3\sqrt[4]{2} + 10\sqrt[4]{2} = (3+10)\sqrt[4]{2} = 13\sqrt[4]{2}$.
Теперь выполним умножение:
$4\sqrt[4]{2} \cdot 13\sqrt[4]{2} = (4 \cdot 13) \cdot (\sqrt[4]{2} \cdot \sqrt[4]{2}) = 52 \cdot \sqrt[4]{2 \cdot 2} = 52\sqrt[4]{4}$.
Упростим корень $\sqrt[4]{4}$:
$\sqrt[4]{4} = \sqrt[4]{2^2} = 2^{2/4} = 2^{1/2} = \sqrt{2}$.
Таким образом, значение выражения равно $52\sqrt{2}$.
Число $\sqrt{2}$ является иррациональным. Произведение ненулевого рационального числа (52) и иррационального числа ($\sqrt{2}$) также является иррациональным числом.
Ответ: иррациональное число.

в) Рассмотрим выражение $(2\sqrt[7]{3} - \sqrt[7]{384}) : \sqrt[7]{3}$.
Упростим корень из 384. Для этого разложим подкоренное выражение на множители: $384 = 3 \cdot 128 = 3 \cdot 2^7$.
Тогда $\sqrt[7]{384} = \sqrt[7]{3 \cdot 2^7} = \sqrt[7]{3} \cdot \sqrt[7]{2^7} = 2\sqrt[7]{3}$.
Подставим это значение в исходное выражение:
$(2\sqrt[7]{3} - 2\sqrt[7]{3}) : \sqrt[7]{3}$.
Выполним вычитание в скобках:
$2\sqrt[7]{3} - 2\sqrt[7]{3} = 0$.
Теперь выполним деление (делитель $\sqrt[7]{3} \neq 0$):
$0 : \sqrt[7]{3} = 0$.
Число 0 является целым, а значит, и рациональным числом, так как его можно представить в виде дроби, например, $\frac{0}{1}$.
Ответ: рациональное число.