Номер 99, страница 177 - гдз по алгебре 11 класс учебник Арефьева, Пирютко

99. Найдите значение выражения:

а) $\sqrt[3]{\sqrt[3]{5}} \cdot \sqrt[9]{5^8}$;

б) $\sqrt[3]{\sqrt[4]{25}} \cdot \sqrt[6]{5^5}$.

а)

Для решения этого примера воспользуемся свойствами корней: $\sqrt[n]{\sqrt[m]{a}} = \sqrt[nm]{a}$ (корень из корня) и $\sqrt[k]{a} \cdot \sqrt[k]{b} = \sqrt[k]{ab}$ (произведение корней с одинаковым показателем).

1. Упростим первый множитель $\sqrt[3]{\sqrt[3]{5}}$:

$\sqrt[3]{\sqrt[3]{5}} = \sqrt[3 \cdot 3]{5} = \sqrt[9]{5}$.

2. Подставим упрощенное выражение обратно в пример:

$\sqrt[9]{5} \cdot \sqrt[9]{5^8}$.

3. Так как показатели корней одинаковы (равны 9), мы можем перемножить подкоренные выражения:

$\sqrt[9]{5 \cdot 5^8} = \sqrt[9]{5^{1+8}} = \sqrt[9]{5^9}$.

4. Используя свойство $\sqrt[n]{a^n} = a$ (при $a \ge 0$), находим окончательное значение:

$\sqrt[9]{5^9} = 5$.

Ответ: 5

б)

Для решения этого примера воспользуемся теми же свойствами, что и в пункте а), а также представим число 25 в виде степени числа 5: $25 = 5^2$.

1. Упростим первый множитель $\sqrt[3]{\sqrt[4]{25}}$:

$\sqrt[3]{\sqrt[4]{25}} = \sqrt[3]{\sqrt[4]{5^2}}$.

Применим свойство корня из корня:

$\sqrt[3 \cdot 4]{5^2} = \sqrt[12]{5^2}$.

2. Мы можем сократить показатель корня (12) и показатель степени подкоренного выражения (2) на их общий делитель 2:

$\sqrt[12]{5^2} = \sqrt[12/2]{5^{2/2}} = \sqrt[6]{5^1} = \sqrt[6]{5}$.

3. Подставим упрощенное выражение обратно в пример:

$\sqrt[6]{5} \cdot \sqrt[6]{5^5}$.

4. Так как показатели корней одинаковы (равны 6), перемножим подкоренные выражения:

$\sqrt[6]{5 \cdot 5^5} = \sqrt[6]{5^{1+5}} = \sqrt[6]{5^6}$.

5. В итоге получаем:

$\sqrt[6]{5^6} = 5$.

Ответ: 5