Номер 95, страница 177 - гдз по алгебре 11 класс учебник Арефьева, Пирютко

95. Вычислите с помощью свойств корня n-й степени:

а) $\sqrt[4]{81 \cdot 16}$;

б) $\sqrt[3]{0,064 \cdot 0,001}$;

В) $\sqrt[3]{\frac{1000}{0,027}}$;

Г) $\sqrt[4]{\frac{0,0001}{16}}$.

а) Для вычисления $\sqrt[4]{81 \cdot 16}$ воспользуемся свойством корня из произведения: $\sqrt[n]{a \cdot b} = \sqrt[n]{a} \cdot \sqrt[n]{b}$. Это свойство позволяет вычислить корень из каждого множителя по отдельности, а затем перемножить результаты.
Применим это свойство к нашему выражению:
$\sqrt[4]{81 \cdot 16} = \sqrt[4]{81} \cdot \sqrt[4]{16}$
Теперь вычислим каждый корень:
$\sqrt[4]{81} = 3$, так как $3^4 = 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 = 81$.
$\sqrt[4]{16} = 2$, так как $2^4 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 = 16$.
Перемножим полученные значения:
$3 \cdot 2 = 6$.
Ответ: $6$.

б) Для вычисления $\sqrt[3]{0,064 \cdot 0,001}$ используем то же свойство корня из произведения: $\sqrt[n]{a \cdot b} = \sqrt[n]{a} \cdot \sqrt[n]{b}$.
$\sqrt[3]{0,064 \cdot 0,001} = \sqrt[3]{0,064} \cdot \sqrt[3]{0,001}$
Вычислим каждый кубический корень:
$\sqrt[3]{0,064} = 0,4$, так как $0,4^3 = 0,4 \cdot 0,4 \cdot 0,4 = 0,064$.
$\sqrt[3]{0,001} = 0,1$, так как $0,1^3 = 0,1 \cdot 0,1 \cdot 0,1 = 0,001$.
Перемножим результаты:
$0,4 \cdot 0,1 = 0,04$.
Ответ: $0,04$.

в) Для вычисления $\sqrt[3]{\frac{1000}{0,027}}$ воспользуемся свойством корня из частного (дроби): $\sqrt[n]{\frac{a}{b}} = \frac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}}$. Это свойство позволяет извлечь корень из числителя и знаменателя по отдельности.
Применим это свойство:
$\sqrt[3]{\frac{1000}{0,027}} = \frac{\sqrt[3]{1000}}{\sqrt[3]{0,027}}$
Вычислим корень в числителе и в знаменателе:
$\sqrt[3]{1000} = 10$, так как $10^3 = 1000$.
$\sqrt[3]{0,027} = 0,3$, так как $0,3^3 = 0,027$.
Разделим полученные результаты:
$\frac{10}{0,3} = \frac{100}{3}$.
Ответ: $\frac{100}{3}$.

г) Для вычисления $\sqrt[4]{\frac{0,0001}{16}}$ используем свойство корня из частного: $\sqrt[n]{\frac{a}{b}} = \frac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}}$.
$\sqrt[4]{\frac{0,0001}{16}} = \frac{\sqrt[4]{0,0001}}{\sqrt[4]{16}}$
Вычислим корень в числителе и в знаменателе:
$\sqrt[4]{0,0001} = 0,1$, так как $0,1^4 = 0,0001$.
$\sqrt[4]{16} = 2$, так как $2^4 = 16$.
Разделим полученные значения:
$\frac{0,1}{2} = 0,05$.
Ответ: $0,05$.