Номер 88, страница 176 - гдз по алгебре 11 класс учебник Арефьева, Пирютко

88. Преобразуйте сумму тригонометрических функций в произведение и вычислите:

a) $ \sin 75^\circ + \sin 15^\circ $;

б) $ \cos 152^\circ + \cos 28^\circ $.

а) $ \sin 75^\circ + \sin 15^\circ $

Для преобразования суммы синусов в произведение используется формула суммы синусов: $ \sin \alpha + \sin \beta = 2 \sin \frac{\alpha + \beta}{2} \cos \frac{\alpha - \beta}{2} $.

Применим эту формулу к данному выражению, где $ \alpha = 75^\circ $ и $ \beta = 15^\circ $:

$ \sin 75^\circ + \sin 15^\circ = 2 \sin \frac{75^\circ + 15^\circ}{2} \cos \frac{75^\circ - 15^\circ}{2} $

Выполним вычисления в аргументах синуса и косинуса:

$ \frac{75^\circ + 15^\circ}{2} = \frac{90^\circ}{2} = 45^\circ $

$ \frac{75^\circ - 15^\circ}{2} = \frac{60^\circ}{2} = 30^\circ $

Подставим полученные значения обратно в выражение:

$ 2 \sin 45^\circ \cos 30^\circ $

Используем табличные значения для $ \sin 45^\circ $ и $ \cos 30^\circ $:

$ \sin 45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2} $

$ \cos 30^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2} $

Теперь вычислим итоговое значение:

$ 2 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{2 \sqrt{2} \sqrt{3}}{4} = \frac{2 \sqrt{6}}{4} = \frac{\sqrt{6}}{2} $

Ответ: $ \frac{\sqrt{6}}{2} $.

б) $ \cos 152^\circ + \cos 28^\circ $

Для преобразования суммы косинусов в произведение используется формула суммы косинусов: $ \cos \alpha + \cos \beta = 2 \cos \frac{\alpha + \beta}{2} \cos \frac{\alpha - \beta}{2} $.

Применим эту формулу к данному выражению, где $ \alpha = 152^\circ $ и $ \beta = 28^\circ $:

$ \cos 152^\circ + \cos 28^\circ = 2 \cos \frac{152^\circ + 28^\circ}{2} \cos \frac{152^\circ - 28^\circ}{2} $

Выполним вычисления в аргументах косинусов:

$ \frac{152^\circ + 28^\circ}{2} = \frac{180^\circ}{2} = 90^\circ $

$ \frac{152^\circ - 28^\circ}{2} = \frac{124^\circ}{2} = 62^\circ $

Подставим полученные значения обратно в выражение:

$ 2 \cos 90^\circ \cos 62^\circ $

Значение $ \cos 90^\circ $ равно 0. Поэтому все произведение равно нулю:

$ 2 \cdot 0 \cdot \cos 62^\circ = 0 $

Ответ: 0.