Номер 81, страница 175 - гдз по алгебре 11 класс учебник Арефьева, Пирютко

81. Найдите значение выражения:

$ \sin 240^\circ + \cos 330^\circ $

$ \operatorname{tg}^2 \frac{5\pi}{3} + \operatorname{ctg}\left(-\frac{9\pi}{4}\right) $

а) $\sin240° + \cos330°$

Для нахождения значения выражения воспользуемся формулами приведения, чтобы свести тригонометрические функции к функциям острых углов.

1. Найдем значение $\sin240°$. Угол $240°$ находится в третьей координатной четверти, где синус имеет отрицательное значение. Представим $240°$ в виде суммы $180° + 60°$.

$\sin240° = \sin(180° + 60°) = -\sin60°$

Согласно таблице значений тригонометрических функций, $\sin60° = \frac{\sqrt{3}}{2}$.

Следовательно, $\sin240° = -\frac{\sqrt{3}}{2}$.

2. Найдем значение $\cos330°$. Угол $330°$ находится в четвертой координатной четверти, где косинус имеет положительное значение. Представим $330°$ в виде разности $360° - 30°$.

$\cos330° = \cos(360° - 30°) = \cos30°$

Согласно таблице значений тригонометрических функций, $\cos30° = \frac{\sqrt{3}}{2}$.

3. Теперь сложим полученные значения:

$\sin240° + \cos330° = -\frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2} = 0$.

Ответ: $0$.

б) $\text{tg}^2 \frac{5\pi}{3} + \text{ctg}(-\frac{9\pi}{4})$

Вычислим значение каждого слагаемого по отдельности.

1. Найдем значение $\text{tg}^2 \frac{5\pi}{3}$. Это то же самое, что и $(\text{tg} \frac{5\pi}{3})^2$.

Угол $\frac{5\pi}{3}$ находится в четвертой четверти, где тангенс отрицателен. Используем формулу приведения, представив $\frac{5\pi}{3}$ как $2\pi - \frac{\pi}{3}$.

$\text{tg} \frac{5\pi}{3} = \text{tg}(2\pi - \frac{\pi}{3}) = -\text{tg}(\frac{\pi}{3}) = -\sqrt{3}$.

Теперь возведем полученное значение в квадрат:

$\text{tg}^2 \frac{5\pi}{3} = (-\sqrt{3})^2 = 3$.

2. Найдем значение $\text{ctg}(-\frac{9\pi}{4})$.

Котангенс — нечетная функция, поэтому $\text{ctg}(-x) = -\text{ctg}(x)$.

$\text{ctg}(-\frac{9\pi}{4}) = -\text{ctg}(\frac{9\pi}{4})$.

Для упрощения аргумента $\frac{9\pi}{4}$ воспользуемся периодичностью котангенса (период равен $\pi$). Выделим целое число периодов:

$\frac{9\pi}{4} = \frac{8\pi + \pi}{4} = 2\pi + \frac{\pi}{4}$.

$\text{ctg}(\frac{9\pi}{4}) = \text{ctg}(2\pi + \frac{\pi}{4}) = \text{ctg}(\frac{\pi}{4}) = 1$.

Таким образом, $\text{ctg}(-\frac{9\pi}{4}) = -1$.

3. Сложим значения обоих слагаемых:

$\text{tg}^2 \frac{5\pi}{3} + \text{ctg}(-\frac{9\pi}{4}) = 3 + (-1) = 2$.

Ответ: $2$.