Номер 74, страница 174 - гдз по алгебре 11 класс учебник Арефьева, Пирютко

74. Найдите $ \sin\alpha $, $ \cos\alpha $, $ \operatorname{tg}\alpha $, $ \operatorname{ctg}\alpha $, если точка $ P_\alpha $ единичной окружности имеет координаты:

a) $ P_\alpha \left(-\frac{3}{5}; \frac{4}{5}\right) $;

б) $ P_\alpha \left(-\frac{1}{2}; -\frac{\sqrt{3}}{2}\right) $.

По определению, для точки $P_\alpha(x, y)$ на единичной окружности, которая соответствует углу $\alpha$, значения тригонометрических функций определяются через ее координаты: абсциссу $x$ и ординату $y$.
Синус угла равен ординате точки: $\sin\alpha = y$.
Косинус угла равен абсциссе точки: $\cos\alpha = x$.
Тангенс угла равен отношению ординаты к абсциссе: $\operatorname{tg}\alpha = \frac{y}{x}$.
Котангенс угла равен отношению абсциссы к ординате: $\operatorname{ctg}\alpha = \frac{x}{y}$.

а) Дана точка $P_\alpha\left(-\frac{3}{5}; \frac{4}{5}\right)$.

Координаты точки: $x = -\frac{3}{5}$ и $y = \frac{4}{5}$.
Исходя из определений, находим значения тригонометрических функций:
$\sin\alpha = y = \frac{4}{5}$
$\cos\alpha = x = -\frac{3}{5}$
$\operatorname{tg}\alpha = \frac{y}{x} = \frac{4/5}{-3/5} = -\frac{4}{3}$
$\operatorname{ctg}\alpha = \frac{x}{y} = \frac{-3/5}{4/5} = -\frac{3}{4}$
Ответ: $\sin\alpha = \frac{4}{5}, \cos\alpha = -\frac{3}{5}, \operatorname{tg}\alpha = -\frac{4}{3}, \operatorname{ctg}\alpha = -\frac{3}{4}$.

б) Дана точка $P_\alpha\left(\frac{1}{2}; -\frac{\sqrt{3}}{2}\right)$.

Координаты точки: $x = \frac{1}{2}$ и $y = -\frac{\sqrt{3}}{2}$.
Исходя из определений, находим значения тригонометрических функций:
$\sin\alpha = y = -\frac{\sqrt{3}}{2}$
$\cos\alpha = x = \frac{1}{2}$
$\operatorname{tg}\alpha = \frac{y}{x} = \frac{-\sqrt{3}/2}{1/2} = -\sqrt{3}$
$\operatorname{ctg}\alpha = \frac{x}{y} = \frac{1/2}{-\sqrt{3}/2} = -\frac{1}{\sqrt{3}} = -\frac{\sqrt{3}}{3}$
Ответ: $\sin\alpha = -\frac{\sqrt{3}}{2}, \cos\alpha = \frac{1}{2}, \operatorname{tg}\alpha = -\sqrt{3}, \operatorname{ctg}\alpha = -\frac{\sqrt{3}}{3}$.