Номер 78, страница 175 - гдз по алгебре 11 класс учебник Арефьева, Пирютко

78. Определите знак числа:

a) $ \sin 183^\circ $;

б) $ \cos \frac{8\pi}{7} $;

в) $ \operatorname{tg} 3 $;

г) $ \operatorname{ctg} 473^\circ $.

Для определения знака тригонометрической функции необходимо установить, в какой четверти тригонометрической окружности находится угол. Знаки тригонометрических функций по четвертям:

• I четверть ($0^\circ < \alpha < 90^\circ$ или $0 < \alpha < \frac{\pi}{2}$): все функции положительны (+).
• II четверть ($90^\circ < \alpha < 180^\circ$ или $\frac{\pi}{2} < \alpha < \pi$): синус положителен (+), остальные отрицательны (-).
• III четверть ($180^\circ < \alpha < 270^\circ$ или $\pi < \alpha < \frac{3\pi}{2}$): тангенс и котангенс положительны (+), остальные отрицательны (-).
• IV четверть ($270^\circ < \alpha < 360^\circ$ или $\frac{3\pi}{2} < \alpha < 2\pi$): косинус положителен (+), остальные отрицательны (-).

а) $ \sin183^\circ $;

Угол $ 183^\circ $ удовлетворяет неравенству $ 180^\circ < 183^\circ < 270^\circ $. Следовательно, он находится в III (третьей) четверти. В III четверти синус имеет отрицательный знак.

Ответ: знак минус (-).

б) $ \cos\frac{8\pi}{7} $;

Угол дан в радианах. Сравним $ \frac{8\pi}{7} $ с границами четвертей $ \pi $ и $ \frac{3\pi}{2} $. Так как $ \pi = \frac{7\pi}{7} $ и $ \frac{3\pi}{2} = \frac{10.5\pi}{7} $, то выполняется неравенство $ \pi < \frac{8\pi}{7} < \frac{3\pi}{2} $. Это означает, что угол находится в III (третьей) четверти. В III четверти косинус имеет отрицательный знак.

Ответ: знак минус (-).

в) $ \text{tg}3 $;

Угол дан в радианах. Оценим значение 3, используя приближение $ \pi \approx 3.14 $. Границы II четверти в радианах: от $ \frac{\pi}{2} \approx \frac{3.14}{2} = 1.57 $ до $ \pi \approx 3.14 $. Так как $ 1.57 < 3 < 3.14 $, угол 3 радиана находится во II (второй) четверти. Во II четверти тангенс имеет отрицательный знак.

Ответ: знак минус (-).

г) $ \text{ctg}473^\circ $.

Угол $ 473^\circ $ больше $ 360^\circ $. Найдем эквивалентный ему угол в пределах от $ 0^\circ $ до $ 360^\circ $, вычтя полный оборот: $ 473^\circ - 360^\circ = 113^\circ $. Таким образом, $ \text{ctg}(473^\circ) = \text{ctg}(113^\circ) $. Угол $ 113^\circ $ удовлетворяет неравенству $ 90^\circ < 113^\circ < 180^\circ $, то есть находится во II (второй) четверти. Во II четверти котангенс имеет отрицательный знак.

Ответ: знак минус (-).