Номер 83, страница 175 - гдз по алгебре 11 класс учебник Арефьева, Пирютко

83. Докажите, что $\sin15^{\circ} = \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}$.

Для доказательства данного равенства можно использовать формулу синуса разности двух углов. Представим угол $15^\circ$ как разность двух стандартных углов, значения тригонометрических функций для которых нам известны, например, $45^\circ$ и $30^\circ$.

$15^\circ = 45^\circ - 30^\circ$

Формула синуса разности выглядит следующим образом:

$sin(\alpha - \beta) = sin(\alpha)cos(\beta) - cos(\alpha)sin(\beta)$

Применим эту формулу, подставив $\alpha = 45^\circ$ и $\beta = 30^\circ$:

$sin(15^\circ) = sin(45^\circ - 30^\circ) = sin(45^\circ)cos(30^\circ) - cos(45^\circ)sin(30^\circ)$

Мы знаем следующие табличные значения тригонометрических функций:

• $sin(45^\circ) = \frac{\sqrt{2}}{2}$
• $cos(45^\circ) = \frac{\sqrt{2}}{2}$
• $sin(30^\circ) = \frac{1}{2}$
• $cos(30^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{2}$

Теперь подставим эти значения в наше выражение для $sin(15^\circ)$:

$sin(15^\circ) = \left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right) \cdot \left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right) - \left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right) \cdot \left(\frac{1}{2}\right)$

Выполним умножение дробей:

$sin(15^\circ) = \frac{\sqrt{2} \cdot \sqrt{3}}{2 \cdot 2} - \frac{\sqrt{2} \cdot 1}{2 \cdot 2}$

$sin(15^\circ) = \frac{\sqrt{6}}{4} - \frac{\sqrt{2}}{4}$

Объединим дроби с общим знаменателем:

$sin(15^\circ) = \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}$

Таким образом, мы получили выражение, которое требовалось доказать.

Ответ: Равенство $sin(15^\circ) = \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}$ доказано.