Номер 90, страница 176 - гдз по алгебре 11 класс учебник Арефьева, Пирютко

90. Найдите значение выражения:

а) $ctg(\arcsin(\frac{\sqrt{2}}{2}));$

б) $cos(\arcsin(\frac{1}{2}));$

в) $cos(2arctg1);$

г) $ctg(2\arccos(-\frac{\sqrt{3}}{2}));$

д) $cos(2arctg(-1));$

е) $sin(arcctg(-\sqrt{3})).$

а) $ \text{ctg}(\arcsin\frac{\sqrt{2}}{2}) $

Сначала найдем значение внутреннего выражения $ \arcsin\frac{\sqrt{2}}{2} $.
По определению, арксинус числа $a$ ($ \arcsin a $) — это угол $ \alpha $ из промежутка $ [-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}] $, синус которого равен $a$.
Нам нужно найти угол, синус которого равен $ \frac{\sqrt{2}}{2} $. Этот угол равен $ \frac{\pi}{4} $.
$ \arcsin\frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{\pi}{4} $.
Теперь подставим найденное значение в исходное выражение:
$ \text{ctg}(\frac{\pi}{4}) = 1 $.
Ответ: 1.

б) $ \cos(\arcsin\frac{1}{2}) $

Сначала найдем значение $ \arcsin\frac{1}{2} $.
Нам нужен угол из промежутка $ [-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}] $, синус которого равен $ \frac{1}{2} $. Этот угол — $ \frac{\pi}{6} $.
$ \arcsin\frac{1}{2} = \frac{\pi}{6} $.
Подставляем это значение в выражение:
$ \cos(\frac{\pi}{6}) = \frac{\sqrt{3}}{2} $.
Ответ: $ \frac{\sqrt{3}}{2} $.

в) $ \cos(2\text{arctg}1) $

Сначала найдем значение $ \text{arctg}1 $.
По определению, арктангенс числа $a$ ($ \text{arctg} a $) — это угол $ \alpha $ из промежутка $ (-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}) $, тангенс которого равен $a$.
Нам нужен угол, тангенс которого равен 1. Этот угол — $ \frac{\pi}{4} $.
$ \text{arctg}1 = \frac{\pi}{4} $.
Подставляем в выражение:
$ \cos(2 \cdot \frac{\pi}{4}) = \cos(\frac{\pi}{2}) = 0 $.
Ответ: 0.

г) $ \text{ctg}(2\text{arccos}(-\frac{\sqrt{3}}{2})) $

Сначала найдем значение $ \text{arccos}(-\frac{\sqrt{3}}{2}) $.
По определению, арккосинус числа $a$ ($ \text{arccos} a $) — это угол $ \alpha $ из промежутка $ [0; \pi] $, косинус которого равен $a$.
Мы знаем, что $ \cos(\frac{\pi}{6}) = \frac{\sqrt{3}}{2} $. Так как аргумент арккосинуса отрицательный, искомый угол находится во второй четверти. Используем формулу $ \text{arccos}(-x) = \pi - \text{arccos}(x) $.
$ \text{arccos}(-\frac{\sqrt{3}}{2}) = \pi - \text{arccos}(\frac{\sqrt{3}}{2}) = \pi - \frac{\pi}{6} = \frac{5\pi}{6} $.
Подставляем в выражение:
$ \text{ctg}(2 \cdot \frac{5\pi}{6}) = \text{ctg}(\frac{5\pi}{3}) $.
Угол $ \frac{5\pi}{3} $ находится в четвертой четверти. $ \text{ctg}(\frac{5\pi}{3}) = \text{ctg}(2\pi - \frac{\pi}{3}) = \text{ctg}(-\frac{\pi}{3}) = -\text{ctg}(\frac{\pi}{3}) = -\frac{\sqrt{3}}{3} $.
Ответ: $ -\frac{\sqrt{3}}{3} $.

д) $ \cos(2\text{arctg}(-1)) $

Сначала найдем значение $ \text{arctg}(-1) $.
Нам нужен угол из промежутка $ (-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}) $, тангенс которого равен -1. Этот угол — $ -\frac{\pi}{4} $.
$ \text{arctg}(-1) = -\frac{\pi}{4} $.
Подставляем в выражение:
$ \cos(2 \cdot (-\frac{\pi}{4})) = \cos(-\frac{\pi}{2}) $.
Так как косинус — четная функция, $ \cos(-\alpha) = \cos(\alpha) $.
$ \cos(-\frac{\pi}{2}) = \cos(\frac{\pi}{2}) = 0 $.
Ответ: 0.

е) $ \sin(\text{arcctg}(-\sqrt{3})) $

Сначала найдем значение $ \text{arcctg}(-\sqrt{3}) $.
По определению, арккотангенс числа $a$ ($ \text{arcctg} a $) — это угол $ \alpha $ из промежутка $ (0; \pi) $, котангенс которого равен $a$.
Мы знаем, что $ \text{ctg}(\frac{\pi}{6}) = \sqrt{3} $. Так как аргумент арккотангенса отрицательный, искомый угол находится во второй четверти. Используем формулу $ \text{arcctg}(-x) = \pi - \text{arcctg}(x) $.
$ \text{arcctg}(-\sqrt{3}) = \pi - \text{arcctg}(\sqrt{3}) = \pi - \frac{\pi}{6} = \frac{5\pi}{6} $.
Подставляем в выражение:
$ \sin(\frac{5\pi}{6}) = \sin(\pi - \frac{\pi}{6}) = \sin(\frac{\pi}{6}) = \frac{1}{2} $.
Ответ: $ \frac{1}{2} $.