Номер 87, страница 176 - гдз по алгебре 11 класс учебник Арефьева, Пирютко

87. Найдите $sin2\alpha$, $cos2\alpha$, $tg2\alpha$, если $cos\alpha = -0.6$, $\alpha \in \left(\pi; \frac{3\pi}{2}\right)$.

Дано: $\cos\alpha = -0,6$ и $\alpha \in (\pi; \frac{3\pi}{2})$.

Это означает, что угол $\alpha$ находится в третьей тригонометрической четверти. В этой четверти и синус, и косинус имеют отрицательные значения.

1. Найдем значение $\sin\alpha$.

Воспользуемся основным тригонометрическим тождеством: $\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1$.

Выразим из него $\sin^2\alpha$:

$\sin^2\alpha = 1 - \cos^2\alpha$

Подставим известное значение $\cos\alpha = -0,6$:

$\sin^2\alpha = 1 - (-0,6)^2 = 1 - 0,36 = 0,64$

Отсюда $\sin\alpha = \pm\sqrt{0,64} = \pm 0,8$.

Поскольку угол $\alpha$ находится в третьей четверти, его синус отрицателен. Следовательно, $\sin\alpha = -0,8$.

Теперь, зная значения $\sin\alpha$ и $\cos\alpha$, мы можем найти требуемые величины.

sin2α

Используем формулу синуса двойного угла: $\sin(2\alpha) = 2\sin\alpha\cos\alpha$.

Подставим найденные значения $\sin\alpha = -0,8$ и $\cos\alpha = -0,6$:

$\sin(2\alpha) = 2 \cdot (-0,8) \cdot (-0,6) = 2 \cdot 0,48 = 0,96$.

Ответ: $0,96$.

cos2α

Используем формулу косинуса двойного угла. Удобнее всего использовать формулу, содержащую только косинус: $\cos(2\alpha) = 2\cos^2\alpha - 1$.

Подставим известное значение $\cos\alpha = -0,6$:

$\cos(2\alpha) = 2 \cdot (-0,6)^2 - 1 = 2 \cdot 0,36 - 1 = 0,72 - 1 = -0,28$.

Ответ: $-0,28$.

tg2α

Используем определение тангенса: $\tan(2\alpha) = \frac{\sin(2\alpha)}{\cos(2\alpha)}$.

Подставим ранее найденные значения $\sin(2\alpha) = 0,96$ и $\cos(2\alpha) = -0,28$:

$\tan(2\alpha) = \frac{0,96}{-0,28} = -\frac{96}{28}$.

Сократим дробь, разделив числитель и знаменатель на 4:

$\tan(2\alpha) = -\frac{24}{7}$.

Ответ: $-\frac{24}{7}$.