Номер 86, страница 176 - гдз по алгебре 11 класс учебник Арефьева, Пирютко

86. С помощью формул двойного угла вычислите:

a) $\cos^2 22,5^\circ - \sin^2 22,5^\circ$;

б) $6\sin\frac{\pi}{8}\cos\frac{\pi}{8}$;

в) $\frac{\text{tg}15^\circ}{\text{tg}^2 15^\circ - 1}$.

а) $\cos^2 22,5^\circ - \sin^2 22,5^\circ$

Для решения воспользуемся формулой косинуса двойного угла: $\cos(2\alpha) = \cos^2\alpha - \sin^2\alpha$.

В данном выражении $\alpha = 22,5^\circ$.

Подставляя это значение в формулу, получаем:

$\cos^2 22,5^\circ - \sin^2 22,5^\circ = \cos(2 \cdot 22,5^\circ) = \cos(45^\circ)$.

Значение $\cos(45^\circ)$ является табличным:

$\cos(45^\circ) = \frac{\sqrt{2}}{2}$.

Ответ: $\frac{\sqrt{2}}{2}$.

б) $6\sin\frac{\pi}{8}\cos\frac{\pi}{8}$

Для решения воспользуемся формулой синуса двойного угла: $\sin(2\alpha) = 2\sin\alpha\cos\alpha$.

Преобразуем исходное выражение, чтобы выделить эту формулу:

$6\sin\frac{\pi}{8}\cos\frac{\pi}{8} = 3 \cdot (2\sin\frac{\pi}{8}\cos\frac{\pi}{8})$.

В выражении в скобках $\alpha = \frac{\pi}{8}$.

Применяем формулу двойного угла:

$3 \cdot (2\sin\frac{\pi}{8}\cos\frac{\pi}{8}) = 3 \cdot \sin(2 \cdot \frac{\pi}{8}) = 3\sin(\frac{2\pi}{8}) = 3\sin(\frac{\pi}{4})$.

Значение $\sin(\frac{\pi}{4})$ является табличным:

$\sin(\frac{\pi}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{2}$.

Тогда итоговое значение выражения равно:

$3 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{3\sqrt{2}}{2}$.

Ответ: $\frac{3\sqrt{2}}{2}$.

в) $\frac{\operatorname{tg}15^\circ}{\operatorname{tg}^2 15^\circ - 1}$

Для решения воспользуемся формулой тангенса двойного угла: $\operatorname{tg}(2\alpha) = \frac{2\operatorname{tg}\alpha}{1 - \operatorname{tg}^2\alpha}$.

Преобразуем исходное выражение. Сначала вынесем знак минус из знаменателя:

$\frac{\operatorname{tg}15^\circ}{\operatorname{tg}^2 15^\circ - 1} = \frac{\operatorname{tg}15^\circ}{-(1 - \operatorname{tg}^2 15^\circ)} = -\frac{\operatorname{tg}15^\circ}{1 - \operatorname{tg}^2 15^\circ}$.

Чтобы привести выражение к формуле двойного угла, умножим и разделим его на 2:

$-\frac{\operatorname{tg}15^\circ}{1 - \operatorname{tg}^2 15^\circ} = -\frac{1}{2} \cdot \frac{2\operatorname{tg}15^\circ}{1 - \operatorname{tg}^2 15^\circ}$.

Теперь выражение $\frac{2\operatorname{tg}15^\circ}{1 - \operatorname{tg}^2 15^\circ}$ соответствует формуле $\operatorname{tg}(2\alpha)$ при $\alpha = 15^\circ$.

Применяем формулу:

$-\frac{1}{2} \cdot \operatorname{tg}(2 \cdot 15^\circ) = -\frac{1}{2} \operatorname{tg}(30^\circ)$.

Значение $\operatorname{tg}(30^\circ)$ является табличным:

$\operatorname{tg}(30^\circ) = \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{3}$.

Вычисляем окончательное значение:

$-\frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{3} = -\frac{\sqrt{3}}{6}$.

Ответ: $-\frac{\sqrt{3}}{6}$.