Номер 84, страница 176 - гдз по алгебре 11 класс учебник Арефьева, Пирютко

84. Найдите $\cos(\alpha + \beta)$, если $\sin \alpha = \frac{4}{5}$, $\cos \beta = \frac{12}{13}$, $\alpha$ и $\beta$ – углы первой четверти.

Для того чтобы найти значение $\cos(\alpha + \beta)$, мы воспользуемся тригонометрической формулой косинуса суммы двух углов:

$\cos(\alpha + \beta) = \cos\alpha \cos\beta - \sin\alpha \sin\beta$

В условии задачи нам даны значения $\sin\alpha = \frac{4}{5}$ и $\cos\beta = \frac{12}{13}$. Для использования формулы нам необходимо найти значения $\cos\alpha$ и $\sin\beta$.

1. Нахождение $\cos\alpha$

Используем основное тригонометрическое тождество: $\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1$.

Выразим из него $\cos\alpha$:

$\cos^2\alpha = 1 - \sin^2\alpha$

Подставим известное значение $\sin\alpha$:

$\cos^2\alpha = 1 - (\frac{4}{5})^2 = 1 - \frac{16}{25} = \frac{25 - 16}{25} = \frac{9}{25}$

Отсюда $\cos\alpha = \pm\sqrt{\frac{9}{25}} = \pm\frac{3}{5}$.

Так как по условию угол $\alpha$ — угол первой четверти, его косинус имеет положительное значение. Следовательно, $\cos\alpha = \frac{3}{5}$.

2. Нахождение $\sin\beta$

Аналогично, используя основное тригонометрическое тождество $\sin^2\beta + \cos^2\beta = 1$, найдем $\sin\beta$.

$\sin^2\beta = 1 - \cos^2\beta$

Подставим известное значение $\cos\beta$:

$\sin^2\beta = 1 - (\frac{12}{13})^2 = 1 - \frac{144}{169} = \frac{169 - 144}{169} = \frac{25}{169}$

Отсюда $\sin\beta = \pm\sqrt{\frac{25}{169}} = \pm\frac{5}{13}$.

Так как по условию угол $\beta$ — угол первой четверти, его синус имеет положительное значение. Следовательно, $\sin\beta = \frac{5}{13}$.

3. Вычисление $\cos(\alpha + \beta)$

Теперь у нас есть все необходимые значения для подстановки в формулу косинуса суммы:

• $\sin\alpha = \frac{4}{5}$
• $\cos\alpha = \frac{3}{5}$
• $\sin\beta = \frac{5}{13}$
• $\cos\beta = \frac{12}{13}$

$\cos(\alpha + \beta) = \cos\alpha \cos\beta - \sin\alpha \sin\beta = \frac{3}{5} \cdot \frac{12}{13} - \frac{4}{5} \cdot \frac{5}{13}$

$\cos(\alpha + \beta) = \frac{36}{65} - \frac{20}{65} = \frac{36 - 20}{65} = \frac{16}{65}$

Ответ: $\frac{16}{65}$