Номер 80, страница 175 - гдз по алгебре 11 класс учебник Арефьева, Пирютко

80. Разместите в порядке возрастания числа $\cos \frac{3\pi}{8}$, $\cos \frac{\pi}{2}$, $\cos \frac{17\pi}{8}$ и $\cos \frac{23\pi}{8}$.

Для того чтобы разместить данные числа в порядке возрастания, необходимо сравнить их значения. Сначала упростим аргументы косинусов, приведя их к углам в основном периоде, и проанализируем каждое число.

• $\cos\frac{3\pi}{8}$

  Аргумент $\frac{3\pi}{8}$ находится в первой четверти, так как $0 < \frac{3\pi}{8} < \frac{4\pi}{8} = \frac{\pi}{2}$. В первой четверти косинус положителен, значит $\cos\frac{3\pi}{8} > 0$.

• $\cos\frac{\pi}{2}$

  Это известное табличное значение: $\cos\frac{\pi}{2} = 0$.

• $\cos\frac{17\pi}{8}$

  Упростим аргумент, используя периодичность функции косинуса (период $2\pi$):

  $\frac{17\pi}{8} = \frac{16\pi + \pi}{8} = 2\pi + \frac{\pi}{8}$

  Следовательно, $\cos\frac{17\pi}{8} = \cos(2\pi + \frac{\pi}{8}) = \cos\frac{\pi}{8}$.

  Аргумент $\frac{\pi}{8}$ также находится в первой четверти ($0 < \frac{\pi}{8} < \frac{\pi}{2}$), поэтому $\cos\frac{\pi}{8} > 0$.

• $\cos\frac{23\pi}{8}$

  Упростим аргумент:

  $\frac{23\pi}{8} = \frac{24\pi - \pi}{8} = 3\pi - \frac{\pi}{8}$

  Используя периодичность и формулы приведения:

  $\cos\frac{23\pi}{8} = \cos(3\pi - \frac{\pi}{8}) = \cos(\pi - \frac{\pi}{8}) = -\cos\frac{\pi}{8}$.

  Поскольку $\cos\frac{\pi}{8} > 0$, значение $-\cos\frac{\pi}{8}$ является отрицательным.

Теперь у нас есть четыре значения для сравнения: $\cos\frac{3\pi}{8}$, $0$, $\cos\frac{\pi}{8}$ и $-\cos\frac{\pi}{8}$.

1. Единственное отрицательное число это $-\cos\frac{\pi}{8}$, поэтому оно является наименьшим.

2. Следующим по величине идет $0$.

3. Остается сравнить два положительных числа: $\cos\frac{3\pi}{8}$ и $\cos\frac{\pi}{8}$.

Функция $y = \cos(x)$ является убывающей на интервале $[0, \pi]$. Оба наших аргумента, $\frac{\pi}{8}$ и $\frac{3\pi}{8}$, принадлежат этому интервалу. Сравним аргументы:

$\frac{\pi}{8} < \frac{3\pi}{8}$

Поскольку функция косинуса на этом интервале убывает, для больших значений аргумента она принимает меньшие значения. Таким образом:

$\cos\frac{\pi}{8} > \cos\frac{3\pi}{8}$

Теперь мы можем расположить все числа в порядке возрастания:

$-\cos\frac{\pi}{8} < 0 < \cos\frac{3\pi}{8} < \cos\frac{\pi}{8}$

Подставим исходные выражения:

$\cos\frac{23\pi}{8} < \cos\frac{\pi}{2} < \cos\frac{3\pi}{8} < \cos\frac{17\pi}{8}$

Ответ: $\cos\frac{23\pi}{8}, \cos\frac{\pi}{2}, \cos\frac{3\pi}{8}, \cos\frac{17\pi}{8}$.