Номер 77, страница 175 - гдз по алгебре 11 класс учебник Арефьева, Пирютко

77. Найдите значение выражения:

$2\cos(-2\pi) + \sin(-\frac{\pi}{2});$

$\cos(-\frac{\pi}{2}) \cdot \cos\pi + \sin 2\pi;$

$\cos3\pi + \cos(-\frac{\pi}{3});$

$\operatorname{tg}2\pi + \cos^2 \frac{\pi}{6};$

$-\operatorname{tg}\pi + \sin^2 (-\frac{\pi}{3});$

$3\cos(-\pi) + \operatorname{tg} \frac{\pi}{3} \cdot \sin \frac{\pi}{3}.$

а) $2\cos(-2\pi) + \sin(-\frac{\pi}{2})$
Для решения используем свойства четности косинуса ($\cos(-x) = \cos(x)$) и нечетности синуса ($\sin(-x) = -\sin(x)$), а также известные значения тригонометрических функций.
Косинус — четная функция, поэтому $\cos(-2\pi) = \cos(2\pi) = 1$.
Синус — нечетная функция, поэтому $\sin(-\frac{\pi}{2}) = -\sin(\frac{\pi}{2}) = -1$.
Подставляем значения в исходное выражение:
$2\cos(-2\pi) + \sin(-\frac{\pi}{2}) = 2 \cdot 1 + (-1) = 2 - 1 = 1$.
Ответ: 1

б) $\cos(-\frac{\pi}{2}) \cdot \cos\pi + \sin2\pi$
Используем свойство четности косинуса и табличные значения функций.
$\cos(-\frac{\pi}{2}) = \cos(\frac{\pi}{2}) = 0$.
$\cos\pi = -1$.
$\sin2\pi = 0$.
Подставляем значения в выражение:
$0 \cdot (-1) + 0 = 0 + 0 = 0$.
Ответ: 0

в) $\cos3\pi + \cos(-\frac{\pi}{3})$
Используем периодичность и четность косинуса.
Период косинуса равен $2\pi$, поэтому $\cos(3\pi) = \cos(\pi + 2\pi) = \cos\pi = -1$.
Косинус — четная функция: $\cos(-\frac{\pi}{3}) = \cos(\frac{\pi}{3}) = \frac{1}{2}$.
Складываем полученные значения:
$-1 + \frac{1}{2} = -\frac{1}{2}$.
Ответ: $-\frac{1}{2}$

г) $\text{tg}2\pi + \cos^2\frac{\pi}{6}$
Находим значение каждого слагаемого.
$\text{tg}2\pi = 0$.
$\cos^2\frac{\pi}{6}$ означает $(\cos\frac{\pi}{6})^2$. Значение $\cos\frac{\pi}{6} = \frac{\sqrt{3}}{2}$.
$(\frac{\sqrt{3}}{2})^2 = \frac{3}{4}$.
Складываем значения:
$0 + \frac{3}{4} = \frac{3}{4}$.
Ответ: $\frac{3}{4}$

д) $-\text{tg}\pi + \sin^2(-\frac{\pi}{3})$
Находим значение каждого слагаемого.
$-\text{tg}\pi = -0 = 0$.
$\sin^2(-\frac{\pi}{3})$ означает $(\sin(-\frac{\pi}{3}))^2$. Так как синус — нечетная функция, $\sin(-\frac{\pi}{3}) = -\sin\frac{\pi}{3} = -\frac{\sqrt{3}}{2}$.
$(-\frac{\sqrt{3}}{2})^2 = \frac{3}{4}$.
Складываем значения:
$0 + \frac{3}{4} = \frac{3}{4}$.
Ответ: $\frac{3}{4}$

е) $3\cos(-\pi) + \text{tg}\frac{\pi}{3} \cdot \sin\frac{\pi}{3}$
Находим значения для каждого члена выражения.
$3\cos(-\pi) = 3\cos\pi = 3 \cdot (-1) = -3$.
$\text{tg}\frac{\pi}{3} = \sqrt{3}$.
$\sin\frac{\pi}{3} = \frac{\sqrt{3}}{2}$.
Подставляем значения в выражение:
$-3 + \sqrt{3} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = -3 + \frac{3}{2} = -\frac{6}{2} + \frac{3}{2} = -\frac{3}{2}$.
Ответ: $-\frac{3}{2}$