Номер 70, страница 174 - гдз по алгебре 11 класс учебник Арефьева, Пирютко

70. Выпишите отрицательные числа:

а) $ \lg 0,999 $;

б) $ 7^{-1} $;

в) $ -2^4 $;

г) $ \log_2 \sqrt{1,01} $;

д) $ \sin 237^\circ $.

Чтобы выписать отрицательные числа из списка, необходимо проанализировать знак каждого выражения.

а) lg 0,999;

Выражение $ \lg 0,999 $ является десятичным логарифмом, то есть $ \log_{10} 0,999 $. Логарифмическая функция с основанием $ a > 1 $ (в данном случае $ a = 10 $) принимает отрицательные значения, если ее аргумент находится в интервале от 0 до 1. Поскольку $ 0 < 0,999 < 1 $, значение $ \lg 0,999 $ отрицательно. Другой способ рассуждения: известно, что $ \lg 1 = 0 $. Так как функция $ y = \lg x $ возрастающая, то для $ 0,999 < 1 $ будет выполняться неравенство $ \lg 0,999 < \lg 1 $, что означает $ \lg 0,999 < 0 $.

Ответ: число отрицательное.

б) $ 7^{-1} $;

По определению степени с отрицательным целым показателем $ a^{-n} = \frac{1}{a^n} $. Следовательно, $ 7^{-1} = \frac{1}{7^1} = \frac{1}{7} $. Полученное число является положительным.

Ответ: число положительное.

в) $ -2^4 $;

Согласно принятому порядку выполнения математических операций, возведение в степень выполняется раньше, чем унарный минус (который является операцией умножения на -1). Сначала вычисляем значение степени: $ 2^4 = 16 $. Затем применяем знак минуса: $ -16 $. Это число является отрицательным.

Ответ: число отрицательное.

г) $ \log_2 \sqrt{1,01} $;

Основание логарифма в выражении $ \log_2 \sqrt{1,01} $ равно 2, что больше 1. Аргумент логарифма равен $ \sqrt{1,01} $. Так как $ 1,01 > 1 $, то и $ \sqrt{1,01} > \sqrt{1} $, то есть $ \sqrt{1,01} > 1 $. Логарифмическая функция с основанием больше 1 принимает положительные значения, если ее аргумент больше 1. Следовательно, $ \log_2 \sqrt{1,01} > 0 $.

Ответ: число положительное.

д) $ \sin 237^\circ $.

Для определения знака синуса необходимо определить, в какой координатной четверти находится угол. Угол $ 237^\circ $ удовлетворяет неравенству $ 180^\circ < 237^\circ < 270^\circ $, а значит, он расположен в третьей координатной четверти. В третьей четверти синус (соответствующий координате y на единичной окружности) принимает отрицательные значения. Таким образом, $ \sin 237^\circ $ является отрицательным числом.

Ответ: число отрицательное.

Итак, проанализировав все выражения, выписываем отрицательные числа:

• $ \lg 0,999 $
• $ -2^4 $
• $ \sin 237^\circ $