Номер 66, страница 174 - гдз по алгебре 11 класс учебник Арефьева, Пирютко

66. Найдите значение выражения $0,2^{\log_5 0,5} - \log_{\sqrt{3}} 25 + 4\log_{\frac{1}{3}} 0,2.$

Для нахождения значения выражения разобьем его на три части и вычислим значение каждой из них по отдельности. Исходное выражение: $0,2^{\log_5 0,5} - \log_{\sqrt{5}} 25 + 4\log_{\frac{1}{3}} \sqrt[4]{3}$.

1. Вычислим значение первого члена: $0,2^{\log_5 0,5}$

Сначала преобразуем основание степени и число под логарифмом.$0,2 = \frac{1}{5} = 5^{-1}$$0,5 = \frac{1}{2}$Подставим эти значения в выражение:$0,2^{\log_5 0,5} = (5^{-1})^{\log_5 \frac{1}{2}}$Используем свойство степени $(a^m)^n = a^{mn}$:$(5^{-1})^{\log_5 \frac{1}{2}} = 5^{-1 \cdot \log_5 \frac{1}{2}} = 5^{-\log_5 \frac{1}{2}}$Применим свойство логарифма $k \cdot \log_a b = \log_a b^k$:$5^{\log_5 (\frac{1}{2})^{-1}} = 5^{\log_5 2}$По основному логарифмическому тождеству $a^{\log_a b} = b$:$5^{\log_5 2} = 2$Таким образом, значение первого члена равно 2.

2. Вычислим значение второго члена: $-\log_{\sqrt{5}} 25$

Сначала найдем значение логарифма $\log_{\sqrt{5}} 25$. Представим основание и аргумент логарифма в виде степеней числа 5. Основание: $\sqrt{5} = 5^{\frac{1}{2}}$Аргумент: $25 = 5^2$Подставим в логарифм:$\log_{\sqrt{5}} 25 = \log_{5^{\frac{1}{2}}} 5^2$Используем свойство логарифма $\log_{a^k} b^m = \frac{m}{k} \log_a b$:$\log_{5^{\frac{1}{2}}} 5^2 = \frac{2}{\frac{1}{2}} \log_5 5 = 4 \cdot 1 = 4$Значение второго члена выражения равно $-4$.

3. Вычислим значение третьего члена: $4\log_{\frac{1}{3}} \sqrt[4]{3}$

Найдем значение логарифма $\log_{\frac{1}{3}} \sqrt[4]{3}$. Представим основание и аргумент в виде степеней числа 3. Основание: $\frac{1}{3} = 3^{-1}$Аргумент: $\sqrt[4]{3} = 3^{\frac{1}{4}}$Подставим в логарифм:$\log_{\frac{1}{3}} \sqrt[4]{3} = \log_{3^{-1}} 3^{\frac{1}{4}}$Используем свойство логарифма $\log_{a^k} b^m = \frac{m}{k} \log_a b$:$\log_{3^{-1}} 3^{\frac{1}{4}} = \frac{\frac{1}{4}}{-1} \log_3 3 = -\frac{1}{4} \cdot 1 = -\frac{1}{4}$Теперь умножим полученное значение на 4:$4 \cdot \left(-\frac{1}{4}\right) = -1$Значение третьего члена выражения равно -1.

4. Найдем значение всего выражения

Сложим полученные значения всех трех частей:$2 - 4 + (-1) = 2 - 4 - 1 = -3$

Ответ: -3