Номер 59, страница 173 - гдз по алгебре 11 класс учебник Арефьева, Пирютко

59. Найдите значение выражения:

а) $5^{\log_5 17}$;

б) $3^{2+\log_3 5}$;

в) $7^{1-\log_7 15}$;

г) $2^{3\log_2 5}$;

д) $36^{\log_6 5}$;

е) $1000^{-\lg 3}$.

а) Для решения используем основное логарифмическое тождество: $a^{\log_a b} = b$.
В данном случае основание степени $a=5$ совпадает с основанием логарифма, а $b=17$.
Следовательно, $5^{\log_5 17} = 17$.
Ответ: 17

б) Используем свойство степени $a^{m+n} = a^m \cdot a^n$.
$3^{2 + \log_3 5} = 3^2 \cdot 3^{\log_3 5}$.
Вычисляем каждую часть отдельно: $3^2 = 9$.
Для второй части используем основное логарифмическое тождество $a^{\log_a b} = b$:
$3^{\log_3 5} = 5$.
Перемножаем результаты: $9 \cdot 5 = 45$.
Ответ: 45

в) Используем свойство степени $a^{m-n} = \frac{a^m}{a^n}$.
$7^{1 - \log_7 15} = \frac{7^1}{7^{\log_7 15}}$.
$7^1 = 7$.
Для знаменателя используем основное логарифмическое тождество $a^{\log_a b} = b$:
$7^{\log_7 15} = 15$.
Получаем дробь: $\frac{7}{15}$.
Ответ: $\frac{7}{15}$

г) Используем свойство логарифма $c \cdot \log_a b = \log_a (b^c)$.
$2^{3\log_2 5} = 2^{\log_2 (5^3)}$.
Теперь применяем основное логарифмическое тождество $a^{\log_a b} = b$:
$2^{\log_2 (5^3)} = 5^3$.
Вычисляем значение: $5^3 = 125$.
Ответ: 125

д) Представим основание степени $36$ как $6^2$.
$36^{\log_6 5} = (6^2)^{\log_6 5}$.
Используем свойство степени $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$:
$(6^2)^{\log_6 5} = 6^{2 \cdot \log_6 5}$.
Применим свойство логарифма $c \cdot \log_a b = \log_a (b^c)$ к показателю степени:
$6^{2 \log_6 5} = 6^{\log_6 (5^2)}$.
По основному логарифмическому тождеству $a^{\log_a b} = b$:
$6^{\log_6 (5^2)} = 5^2 = 25$.
Ответ: 25

е) Запись $\lg$ означает логарифм по основанию 10, то есть $\lg 3 = \log_{10} 3$.
Представим основание степени $1000$ как $10^3$.
$1000^{-\lg 3} = (10^3)^{-\log_{10} 3}$.
Используем свойство степени $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$:
$(10^3)^{-\log_{10} 3} = 10^{3 \cdot (-\log_{10} 3)} = 10^{-3\log_{10} 3}$.
Применим свойство логарифма $c \cdot \log_a b = \log_a (b^c)$ к показателю степени:
$10^{-3\log_{10} 3} = 10^{\log_{10} (3^{-3})}$.
По основному логарифмическому тождеству $a^{\log_a b} = b$:
$10^{\log_{10} (3^{-3})} = 3^{-3}$.
Вычисляем значение: $3^{-3} = \frac{1}{3^3} = \frac{1}{27}$.
Ответ: $\frac{1}{27}$