Номер 57, страница 172 - гдз по алгебре 11 класс учебник Арефьева, Пирютко

57. Назовите число:

a) противоположное число $- \frac{1}{3}$; $\sqrt{7}$; $\log_2 64$;

б) обратное число $0,6$; $\frac{\sqrt{5}}{5}$; $\sin \frac{\pi}{6}.

Приведите примеры чисел, взаимно простых с числом 12.

а)

Противоположное число к числу $a$ — это число $-a$.
Для числа $-\frac{1}{3}$ противоположным является $- (-\frac{1}{3}) = \frac{1}{3}$.
Ответ: $\frac{1}{3}$.

Для числа $\sqrt{7}$ противоположным является $-\sqrt{7}$.
Ответ: $-\sqrt{7}$.

Для числа $\log_2 64$: сначала вычислим значение логарифма. Так как $2^6 = 64$, то $\log_2 64 = 6$. Противоположным числу 6 является число -6.
Ответ: -6.

б)

Обратное число к числу $a \neq 0$ — это число $\frac{1}{a}$.
Для числа $0,6$: представим его в виде обыкновенной дроби $0,6 = \frac{6}{10} = \frac{3}{5}$. Обратным к $\frac{3}{5}$ является число $\frac{5}{3}$.
Ответ: $\frac{5}{3}$.

Для числа $\frac{\sqrt{5}}{5}$: обратным является $\frac{1}{\frac{\sqrt{5}}{5}} = \frac{5}{\sqrt{5}}$. Умножим числитель и знаменатель на $\sqrt{5}$, чтобы избавиться от иррациональности в знаменателе: $\frac{5\sqrt{5}}{\sqrt{5}\sqrt{5}} = \frac{5\sqrt{5}}{5} = \sqrt{5}$.
Ответ: $\sqrt{5}$.

Для числа $\sin\frac{\pi}{6}$: сначала вычислим значение синуса. $\sin\frac{\pi}{6} = \frac{1}{2}$. Обратным к $\frac{1}{2}$ является число $\frac{1}{1/2} = 2$.
Ответ: 2.

Приведите примеры чисел, взаимно простых с числом 12.

Два целых числа называются взаимно простыми, если их наибольший общий делитель (НОД) равен 1. Разложим число 12 на простые множители: $12 = 2^2 \cdot 3$. Следовательно, число, взаимно простое с 12, не должно делиться ни на 2, ни на 3.
Примерами таких чисел являются: 1, 5, 7, 11, 13, 17, 25.
Ответ: 1, 5, 7, 11, 25.