Номер 50, страница 171 - гдз по алгебре 11 класс учебник Арефьева, Пирютко

50. Найдите значение выражения:

а) $(\frac{27}{64})^{\frac{2}{3}};

б) $(1\frac{7}{9})^{-\frac{1}{2}};

в) $(2\frac{10}{27})^{-\frac{2}{3}} : (0,75)^{-2};

г) $5^{0,6} \cdot 125 \cdot 25^{-0,3} \cdot 5^{-2,5}$.

а) Чтобы найти значение выражения $(\frac{27}{64})^{\frac{2}{3}}$, воспользуемся свойством степени $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$, а также представим основание дроби в виде степени.
Числа 27 и 64 можно представить как $27 = 3^3$ и $64 = 4^3$.
Следовательно, дробь можно записать как $\frac{27}{64} = \frac{3^3}{4^3} = (\frac{3}{4})^3$.
Подставим это в исходное выражение:
$(\frac{27}{64})^{\frac{2}{3}} = ((\frac{3}{4})^3)^{\frac{2}{3}}$
Теперь, согласно свойству степени, перемножим показатели:
$(\frac{3}{4})^{3 \cdot \frac{2}{3}} = (\frac{3}{4})^2$
Возведем дробь в квадрат:
$(\frac{3}{4})^2 = \frac{3^2}{4^2} = \frac{9}{16}$.
Ответ: $\frac{9}{16}$.

б) Чтобы найти значение выражения $(1\frac{7}{9})^{-\frac{1}{2}}$, сначала преобразуем смешанное число в неправильную дробь.
$1\frac{7}{9} = \frac{1 \cdot 9 + 7}{9} = \frac{16}{9}$.
Теперь выражение имеет вид $(\frac{16}{9})^{-\frac{1}{2}}$.
Воспользуемся свойством отрицательной степени $(\frac{a}{b})^{-n} = (\frac{b}{a})^n$:
$(\frac{16}{9})^{-\frac{1}{2}} = (\frac{9}{16})^{\frac{1}{2}}$.
Степень $\frac{1}{2}$ эквивалентна извлечению квадратного корня:
$(\frac{9}{16})^{\frac{1}{2}} = \sqrt{\frac{9}{16}} = \frac{\sqrt{9}}{\sqrt{16}} = \frac{3}{4}$.
Ответ: $\frac{3}{4}$.

в) Найдем значение выражения $(2\frac{10}{27})^{-\frac{2}{3}} : (0,75)^{-2}$.
Вычислим значение каждого операнда по отдельности.
1. Найдем значение $(2\frac{10}{27})^{-\frac{2}{3}}$.
Преобразуем смешанное число в неправильную дробь: $2\frac{10}{27} = \frac{2 \cdot 27 + 10}{27} = \frac{64}{27}$.
Получаем $(\frac{64}{27})^{-\frac{2}{3}}$. Используя свойство отрицательной степени, переворачиваем дробь: $(\frac{27}{64})^{\frac{2}{3}}$.
Так как $27=3^3$ и $64=4^3$, то $(\frac{27}{64})^{\frac{2}{3}} = ((\frac{3}{4})^3)^{\frac{2}{3}} = (\frac{3}{4})^{3 \cdot \frac{2}{3}} = (\frac{3}{4})^2 = \frac{9}{16}$.
2. Найдем значение $(0,75)^{-2}$.
Преобразуем десятичную дробь в обыкновенную: $0,75 = \frac{3}{4}$.
Получаем $(\frac{3}{4})^{-2}$. Используя свойство отрицательной степени, переворачиваем дробь: $(\frac{4}{3})^2 = \frac{16}{9}$.
3. Выполним деление полученных значений:
$\frac{9}{16} : \frac{16}{9} = \frac{9}{16} \cdot \frac{9}{16} = \frac{81}{256}$.
Ответ: $\frac{81}{256}$.

г) Найдем значение выражения $5^{0,6} \cdot 125 \cdot 25^{-0,3} \cdot 5^{-2,5}$.
Для упрощения приведем все множители к степеням с основанием 5.
$125 = 5^3$
$25 = 5^2$
Подставим эти значения в исходное выражение:
$5^{0,6} \cdot 5^3 \cdot (5^2)^{-0,3} \cdot 5^{-2,5}$
Используем свойство $(a^m)^n = a^{mn}$ для члена $(5^2)^{-0,3}$:
$(5^2)^{-0,3} = 5^{2 \cdot (-0,3)} = 5^{-0,6}$
Теперь все выражение имеет вид:
$5^{0,6} \cdot 5^3 \cdot 5^{-0,6} \cdot 5^{-2,5}$
При умножении степеней с одинаковым основанием их показатели складываются ($a^m \cdot a^n \cdot a^k = a^{m+n+k}$):
$5^{0,6 + 3 - 0,6 - 2,5}$
Вычислим сумму в показателе степени:
$0,6 + 3 - 0,6 - 2,5 = (0,6 - 0,6) + (3 - 2,5) = 0 + 0,5 = 0,5$
В результате получаем:
$5^{0,5} = 5^{\frac{1}{2}} = \sqrt{5}$.
Ответ: $\sqrt{5}$.