Номер 46, страница 171 - гдз по алгебре 11 класс учебник Арефьева, Пирютко

46. Избавьтесь от иррациональности в знаменателе дроби:

а) $\frac{7}{\sqrt[3]{7}};

б) $\frac{3}{\sqrt[3]{9}};

в) $\frac{10}{\sqrt[3]{5}};

г) $\frac{4}{\sqrt[5]{16}};

д) $\frac{12}{\sqrt[4]{27}};

е) $\frac{6}{\sqrt[3]{9}}.$

а) Чтобы избавиться от иррациональности в знаменателе дроби $\frac{7}{\sqrt[3]{7}}$, необходимо домножить числитель и знаменатель на такой множитель, чтобы показатель степени подкоренного выражения в знаменателе стал равен показателю корня (в данном случае 3). В знаменателе стоит $\sqrt[3]{7^1}$, поэтому домножаем на $\sqrt[3]{7^{3-1}} = \sqrt[3]{7^2} = \sqrt[3]{49}$.
Выполняем преобразование:
$\frac{7}{\sqrt[3]{7}} = \frac{7 \cdot \sqrt[3]{7^2}}{\sqrt[3]{7} \cdot \sqrt[3]{7^2}} = \frac{7\sqrt[3]{49}}{\sqrt[3]{7^3}} = \frac{7\sqrt[3]{49}}{7} = \sqrt[3]{49}$.
Ответ: $\sqrt[3]{49}$.

б) В дроби $\frac{3}{\sqrt[3]{9}}$ представим число в знаменателе в виде степени: $9 = 3^2$. Получаем дробь $\frac{3}{\sqrt[3]{3^2}}$. Чтобы избавиться от корня, домножим числитель и знаменатель на $\sqrt[3]{3^{3-2}} = \sqrt[3]{3^1} = \sqrt[3]{3}$.
Выполняем преобразование:
$\frac{3}{\sqrt[3]{9}} = \frac{3}{\sqrt[3]{3^2}} = \frac{3 \cdot \sqrt[3]{3}}{\sqrt[3]{3^2} \cdot \sqrt[3]{3}} = \frac{3\sqrt[3]{3}}{\sqrt[3]{3^3}} = \frac{3\sqrt[3]{3}}{3} = \sqrt[3]{3}$.
Ответ: $\sqrt[3]{3}$.

в) В дроби $\frac{10}{\sqrt[3]{5}}$ знаменатель равен $\sqrt[3]{5^1}$. Чтобы избавиться от корня, домножим числитель и знаменатель на $\sqrt[3]{5^{3-1}} = \sqrt[3]{5^2} = \sqrt[3]{25}$.
Выполняем преобразование:
$\frac{10}{\sqrt[3]{5}} = \frac{10 \cdot \sqrt[3]{25}}{\sqrt[3]{5} \cdot \sqrt[3]{25}} = \frac{10\sqrt[3]{25}}{\sqrt[3]{5^3}} = \frac{10\sqrt[3]{25}}{5} = 2\sqrt[3]{25}$.
Ответ: $2\sqrt[3]{25}$.

г) В дроби $\frac{4}{\sqrt[5]{16}}$ представим число в знаменателе в виде степени: $16 = 2^4$. Получаем дробь $\frac{4}{\sqrt[5]{2^4}}$. Чтобы избавиться от корня, домножим числитель и знаменатель на $\sqrt[5]{2^{5-4}} = \sqrt[5]{2^1} = \sqrt[5]{2}$.
Выполняем преобразование:
$\frac{4}{\sqrt[5]{16}} = \frac{4}{\sqrt[5]{2^4}} = \frac{4 \cdot \sqrt[5]{2}}{\sqrt[5]{2^4} \cdot \sqrt[5]{2}} = \frac{4\sqrt[5]{2}}{\sqrt[5]{2^5}} = \frac{4\sqrt[5]{2}}{2} = 2\sqrt[5]{2}$.
Ответ: $2\sqrt[5]{2}$.

д) В дроби $\frac{12}{\sqrt[4]{27}}$ представим число в знаменателе в виде степени: $27 = 3^3$. Получаем дробь $\frac{12}{\sqrt[4]{3^3}}$. Чтобы избавиться от корня, домножим числитель и знаменатель на $\sqrt[4]{3^{4-3}} = \sqrt[4]{3^1} = \sqrt[4]{3}$.
Выполняем преобразование:
$\frac{12}{\sqrt[4]{27}} = \frac{12}{\sqrt[4]{3^3}} = \frac{12 \cdot \sqrt[4]{3}}{\sqrt[4]{3^3} \cdot \sqrt[4]{3}} = \frac{12\sqrt[4]{3}}{\sqrt[4]{3^4}} = \frac{12\sqrt[4]{3}}{3} = 4\sqrt[4]{3}$.
Ответ: $4\sqrt[4]{3}$.

е) В дроби $\frac{6}{\sqrt[3]{9}}$ представим число в знаменателе в виде степени: $9 = 3^2$. Получаем дробь $\frac{6}{\sqrt[3]{3^2}}$. Чтобы избавиться от корня, домножим числитель и знаменатель на $\sqrt[3]{3^{3-2}} = \sqrt[3]{3^1} = \sqrt[3]{3}$.
Выполняем преобразование:
$\frac{6}{\sqrt[3]{9}} = \frac{6}{\sqrt[3]{3^2}} = \frac{6 \cdot \sqrt[3]{3}}{\sqrt[3]{3^2} \cdot \sqrt[3]{3}} = \frac{6\sqrt[3]{3}}{\sqrt[3]{3^3}} = \frac{6\sqrt[3]{3}}{3} = 2\sqrt[3]{3}$.
Ответ: $2\sqrt[3]{3}$.