Номер 48, страница 171 - гдз по алгебре 11 класс учебник Арефьева, Пирютко

48. Представьте степень с рациональным показателем в виде корня:

а) $7^{\frac{2}{3}}$;

б) $5^{\frac{1}{2}}$;

в) $10^{0,8}$;

г) $3^{-\frac{4}{7}}$.

Для представления степени с рациональным показателем в виде корня используется тождество $a^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{a^m}$, где $a > 0$, $m$ — целое число, а $n$ — натуральное число ($n \ge 2$). Знаменатель дроби в показателе степени становится показателем корня, а числитель — показателем степени подкоренного выражения.

а) $7^{\frac{2}{3}}$

В данном случае основание $a=7$, числитель показателя степени $m=2$, а знаменатель $n=3$.

Применяем формулу:

$7^{\frac{2}{3}} = \sqrt[3]{7^2}$

Вычислим степень под корнем:

$7^2 = 49$

Таким образом, получаем:

$7^{\frac{2}{3}} = \sqrt[3]{49}$

Ответ: $\sqrt[3]{49}$.

б) $5^{\frac{1}{2}}$

Здесь основание $a=5$, числитель $m=1$, знаменатель $n=2$.

Применяем формулу:

$5^{\frac{1}{2}} = \sqrt[2]{5^1}$

Корень второй степени называется квадратным корнем, и его показатель принято не писать. Степень 1 также можно опустить.

$5^{\frac{1}{2}} = \sqrt{5}$

Ответ: $\sqrt{5}$.

в) $10^{0,8}$

Сначала представим десятичный показатель степени в виде обыкновенной дроби:

$0.8 = \frac{8}{10} = \frac{4}{5}$

Теперь имеем выражение $10^{\frac{4}{5}}$.

В этом случае основание $a=10$, числитель $m=4$, знаменатель $n=5$.

Применяем формулу:

$10^{\frac{4}{5}} = \sqrt[5]{10^4}$

Вычислим степень под корнем:

$10^4 = 10000$

Таким образом:

$10^{0,8} = \sqrt[5]{10000}$

Ответ: $\sqrt[5]{10000}$.

г) $3^{-\frac{4}{7}}$

Так как показатель степени отрицательный, воспользуемся свойством $a^{-p} = \frac{1}{a^p}$.

$3^{-\frac{4}{7}} = \frac{1}{3^{\frac{4}{7}}}$

Теперь преобразуем степень в знаменателе в корень. Здесь основание $a=3$, числитель $m=4$, знаменатель $n=7$.

$3^{\frac{4}{7}} = \sqrt[7]{3^4}$

Вычислим степень под корнем:

$3^4 = 81$

Подставим результат в наше выражение:

$3^{-\frac{4}{7}} = \frac{1}{\sqrt[7]{81}}$

Ответ: $\frac{1}{\sqrt[7]{81}}$.