Номер 41, страница 171 - гдз по алгебре 11 класс учебник Арефьева, Пирютко

41. Упростите выражение:

a) $\sqrt[3]{24} + \sqrt[3]{3};$

б) $5\sqrt{3} - 2\sqrt[3]{384};$

в) $6\sqrt[5]{64} - 4\sqrt[5]{486}.$

a)

Чтобы упростить выражение $\sqrt[3]{24} + \sqrt[3]{3}$, необходимо привести корни к общему подкоренному выражению. Для этого вынесем множитель из-под знака первого корня.

Разложим число 24 на множители так, чтобы один из них был кубом целого числа: $24 = 8 \cdot 3 = 2^3 \cdot 3$.

Теперь мы можем вынести множитель из-под знака кубического корня, используя свойство $\sqrt[n]{a \cdot b} = \sqrt[n]{a} \cdot \sqrt[n]{b}$:
$\sqrt[3]{24} = \sqrt[3]{8 \cdot 3} = \sqrt[3]{2^3 \cdot 3} = \sqrt[3]{2^3} \cdot \sqrt[3]{3} = 2\sqrt[3]{3}$.

Подставим полученное значение обратно в исходное выражение:
$2\sqrt[3]{3} + \sqrt[3]{3}$.

Теперь у нас есть подобные слагаемые, которые можно сложить:
$2\sqrt[3]{3} + 1\sqrt[3]{3} = (2+1)\sqrt[3]{3} = 3\sqrt[3]{3}$.

Ответ: $3\sqrt[3]{3}$.

б)

Чтобы упростить выражение $5\sqrt[7]{3} - 2\sqrt[7]{384}$, вынесем множитель из-под знака второго корня.

Разложим число 384 на множители. Заметим, что первый член содержит $\sqrt[7]{3}$, поэтому попробуем найти множитель, который является седьмой степенью целого числа. Разделим 384 на 3: $384 \div 3 = 128$.
Число 128 является седьмой степенью числа 2: $128 = 2^7$.
Таким образом, $384 = 128 \cdot 3 = 2^7 \cdot 3$.

Вынесем множитель из-под знака корня седьмой степени:
$\sqrt[7]{384} = \sqrt[7]{128 \cdot 3} = \sqrt[7]{2^7 \cdot 3} = \sqrt[7]{2^7} \cdot \sqrt[7]{3} = 2\sqrt[7]{3}$.

Подставим это в исходное выражение:
$5\sqrt[7]{3} - 2(2\sqrt[7]{3}) = 5\sqrt[7]{3} - 4\sqrt[7]{3}$.

Выполним вычитание подобных слагаемых:
$(5-4)\sqrt[7]{3} = 1\sqrt[7]{3} = \sqrt[7]{3}$.

Ответ: $\sqrt[7]{3}$.

в)

Чтобы упростить выражение $6\sqrt[5]{64} - 4\sqrt[5]{486}$, вынесем множители из-под знаков обоих корней.

Сначала упростим первый член $6\sqrt[5]{64}$. Разложим 64 на множители так, чтобы один из них был пятой степенью целого числа: $64 = 32 \cdot 2 = 2^5 \cdot 2$.
$\sqrt[5]{64} = \sqrt[5]{32 \cdot 2} = \sqrt[5]{2^5 \cdot 2} = \sqrt[5]{2^5} \cdot \sqrt[5]{2} = 2\sqrt[5]{2}$.
Тогда первый член равен: $6 \cdot 2\sqrt[5]{2} = 12\sqrt[5]{2}$.

Теперь упростим второй член $4\sqrt[5]{486}$. Разложим 486 на множители. Попробуем найти множитель, являющийся пятой степенью целого числа. Известно, что $3^5=243$.
Разделим 486 на 243: $486 \div 243 = 2$.
Таким образом, $486 = 243 \cdot 2 = 3^5 \cdot 2$.
$\sqrt[5]{486} = \sqrt[5]{243 \cdot 2} = \sqrt[5]{3^5 \cdot 2} = \sqrt[5]{3^5} \cdot \sqrt[5]{2} = 3\sqrt[5]{2}$.
Тогда второй член равен: $4 \cdot 3\sqrt[5]{2} = 12\sqrt[5]{2}$.

Подставим упрощенные члены обратно в выражение:
$12\sqrt[5]{2} - 12\sqrt[5]{2}$.

Выполним вычитание:
$12\sqrt[5]{2} - 12\sqrt[5]{2} = 0$.

Ответ: $0$.