Номер 39, страница 170 - гдз по алгебре 11 класс учебник Арефьева, Пирютко

39. Вычислите значение выражения:

a) $ \sqrt[5]{-3^5} - \sqrt[5]{(-3)^5} $;

б) $ \sqrt[4]{(-7)^4} - \sqrt[3]{(-7)^3} $;

в) $ \sqrt[7]{-5^7} + 2\sqrt[8]{(-5)^8} $;

г) $ \sqrt[3]{-10^3} + \sqrt[9]{(-10)^9} - \sqrt[4]{(-10)^4} $.

а) Для вычисления значения выражения $\sqrt[5]{-3^5} - \sqrt[5]{(-3)^5}$ воспользуемся свойствами корней n-ной степени.

Основное правило для корней нечетной степени ($n=3, 5, 7, ...$) гласит, что $\sqrt[n]{a^n} = a$ для любого действительного числа $a$. Также для нечетной степени верно, что $\sqrt[n]{-b} = -\sqrt[n]{b}$.

Рассмотрим первый член: $\sqrt[5]{-3^5}$. Запись $-3^5$ означает $-(3^5)$. Так как степень корня нечетная ($n=5$), мы можем вынести знак минуса за пределы корня: $\sqrt[5]{-(3^5)} = -\sqrt[5]{3^5}$. По определению корня, $\sqrt[5]{3^5} = 3$. Следовательно, первый член равен $-3$.

Рассмотрим второй член: $\sqrt[5]{(-3)^5}$. Здесь мы применяем правило $\sqrt[n]{a^n} = a$ для нечетного $n=5$ и $a=-3$. Получаем $\sqrt[5]{(-3)^5} = -3$.

Теперь вычисляем разность полученных значений: $-3 - (-3) = -3 + 3 = 0$.

Ответ: 0

б) Рассмотрим выражение $\sqrt[4]{(-7)^4} - \sqrt[3]{(-7)^3}$.

Для первого члена $\sqrt[4]{(-7)^4}$ мы имеем дело с корнем четной степени ($n=4$). Основное правило для корней четной степени ($n=2, 4, 6, ...$) гласит, что $\sqrt[n]{a^n} = |a|$ (модуль числа $a$). В нашем случае $a = -7$, поэтому $\sqrt[4]{(-7)^4} = |-7| = 7$.

Для второго члена $\sqrt[3]{(-7)^3}$ мы имеем дело с корнем нечетной степени ($n=3$). Как было указано ранее, для нечетной степени $\sqrt[n]{a^n} = a$. В нашем случае $a = -7$, поэтому $\sqrt[3]{(-7)^3} = -7$.

Вычисляем разность: $7 - (-7) = 7 + 7 = 14$.

Ответ: 14

в) Вычислим значение выражения $\sqrt[7]{-5^7} + 2\sqrt[8]{(-5)^8}$.

Первый член $\sqrt[7]{-5^7}$. Степень корня нечетная ($n=7$). Выражение $-5^7$ равно $-(5^7)$. Выносим минус за знак корня нечетной степени: $\sqrt[7]{-(5^7)} = -\sqrt[7]{5^7} = -5$.

Второй член $2\sqrt[8]{(-5)^8}$. Сначала вычислим значение корня $\sqrt[8]{(-5)^8}$. Степень корня четная ($n=8$), поэтому используем правило $\sqrt[n]{a^n} = |a|$. Для $a = -5$ получаем $\sqrt[8]{(-5)^8} = |-5| = 5$. Затем умножаем результат на коэффициент 2: $2 \cdot 5 = 10$.

Складываем полученные значения: $-5 + 10 = 5$.

Ответ: 5

г) Найдем значение выражения $\sqrt[3]{-10^3} + \sqrt[9]{(-10)^9} - \sqrt[4]{(-10)^4}$.

Рассмотрим каждый член по отдельности.

Первый член $\sqrt[3]{-10^3}$. Корень нечетной степени ($n=3$). Выражение $-10^3$ равно $-(10^3)$, поэтому $\sqrt[3]{-10^3} = -\sqrt[3]{10^3} = -10$.

Второй член $\sqrt[9]{(-10)^9}$. Корень нечетной степени ($n=9$). По правилу $\sqrt[n]{a^n} = a$ для нечетного $n$, имеем $\sqrt[9]{(-10)^9} = -10$.

Третий член $\sqrt[4]{(-10)^4}$. Корень четной степени ($n=4$). По правилу $\sqrt[n]{a^n} = |a|$ для четного $n$, имеем $\sqrt[4]{(-10)^4} = |-10| = 10$.

Теперь объединим все результаты: $-10 + (-10) - 10 = -20 - 10 = -30$.

Ответ: -30