Номер 37, страница 170 - гдз по алгебре 11 класс учебник Арефьева, Пирютко

37. Вычислите:

a) $\sqrt[4]{27} \cdot \sqrt[8]{3^5}$;

б) $\sqrt[4]{\sqrt[3]{49}} \cdot \sqrt[6]{7^5}$.

а) $\sqrt[4]{\sqrt{27}} \cdot \sqrt[8]{3^5}$

Для решения этого примера воспользуемся свойствами корней и степеней.

1. Упростим первый множитель $\sqrt[4]{\sqrt{27}}$, используя свойство вложенных корней: $\sqrt[m]{\sqrt[n]{a}} = \sqrt[m \cdot n]{a}$. Показатель внутреннего (квадратного) корня равен 2.

$\sqrt[4]{\sqrt{27}} = \sqrt[4 \cdot 2]{27} = \sqrt[8]{27}$

2. Представим число 27 как степень числа 3: $27 = 3^3$.

$\sqrt[8]{27} = \sqrt[8]{3^3}$

3. Теперь исходное выражение выглядит так:

$\sqrt[8]{3^3} \cdot \sqrt[8]{3^5}$

4. Так как показатели корней одинаковы, воспользуемся свойством умножения корней с одинаковыми показателями: $\sqrt[n]{a} \cdot \sqrt[n]{b} = \sqrt[n]{a \cdot b}$.

$\sqrt[8]{3^3 \cdot 3^5}$

5. При умножении степеней с одинаковым основанием их показатели складываются: $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$.

$\sqrt[8]{3^{3+5}} = \sqrt[8]{3^8}$

6. Упростим полученное выражение, используя свойство $\sqrt[n]{a^n} = a$ (для $a \ge 0$).

$\sqrt[8]{3^8} = 3$

Ответ: 3

б) $\sqrt[4]{\sqrt[3]{49}} \cdot \sqrt[6]{7^5}$

Решим второй пример, применяя те же свойства.

1. Упростим первый множитель $\sqrt[4]{\sqrt[3]{49}}$ по свойству вложенных корней $\sqrt[m]{\sqrt[n]{a}} = \sqrt[m \cdot n]{a}$.

$\sqrt[4]{\sqrt[3]{49}} = \sqrt[4 \cdot 3]{49} = \sqrt[12]{49}$

2. Представим число 49 как степень числа 7: $49 = 7^2$.

$\sqrt[12]{49} = \sqrt[12]{7^2}$

3. Теперь мы можем упростить корень, сократив показатель корня и показатель степени подкоренного выражения на их общий делитель 2, используя свойство $\sqrt[nk]{a^{mk}} = \sqrt[n]{a^m}$.

$\sqrt[12]{7^2} = \sqrt[6 \cdot 2]{7^{1 \cdot 2}} = \sqrt[6]{7^1} = \sqrt[6]{7}$

4. Подставим упрощенное выражение обратно в исходный пример. Теперь оба множителя имеют одинаковый показатель корня.

$\sqrt[6]{7} \cdot \sqrt[6]{7^5}$

5. Умножим корни с одинаковым показателем:

$\sqrt[6]{7 \cdot 7^5} = \sqrt[6]{7^{1+5}} = \sqrt[6]{7^6}$

6. Упростим результат:

$\sqrt[6]{7^6} = 7$

Ответ: 7