Номер 44, страница 171 - гдз по алгебре 11 класс учебник Арефьева, Пирютко

44. Примените формулу разности квадратов и вычислите:

a) $(1 + \sqrt{3})(1 + \sqrt[4]{3})(1 - \sqrt[4]{3});$

б) $(\sqrt[4]{49} + 1)(\sqrt[8]{49} + 1)(\sqrt[8]{49} - 1).$

а) $(1 + \sqrt{3})(1 + \sqrt[4]{3})(1 - \sqrt[4]{3})$

Для решения данного примера необходимо применить формулу разности квадратов: $(a - b)(a + b) = a^2 - b^2$.

Сначала применим эту формулу к последним двум множителям в выражении: $(1 + \sqrt[4]{3})(1 - \sqrt[4]{3})$. В этом случае $a = 1$ и $b = \sqrt[4]{3}$.

$(1 + \sqrt[4]{3})(1 - \sqrt[4]{3}) = 1^2 - (\sqrt[4]{3})^2 = 1 - 3^{\frac{2}{4}} = 1 - 3^{\frac{1}{2}} = 1 - \sqrt{3}$.

Теперь подставим полученный результат в исходное выражение:

$(1 + \sqrt{3})(1 - \sqrt{3})$

Снова видим формулу разности квадратов, где $a = 1$ и $b = \sqrt{3}$. Применим ее:

$(1 + \sqrt{3})(1 - \sqrt{3}) = 1^2 - (\sqrt{3})^2 = 1 - 3 = -2$.

Ответ: $-2$.

б) $(\sqrt[4]{49} + 1)(\sqrt[8]{49} + 1)(\sqrt[8]{49} - 1)$

В этом примере мы также последовательно применим формулу разности квадратов $(a - b)(a + b) = a^2 - b^2$.

Начнем с последних двух множителей: $(\sqrt[8]{49} + 1)(\sqrt[8]{49} - 1)$. Здесь $a = \sqrt[8]{49}$ и $b = 1$.

$(\sqrt[8]{49} + 1)(\sqrt[8]{49} - 1) = (\sqrt[8]{49})^2 - 1^2 = 49^{\frac{2}{8}} - 1 = 49^{\frac{1}{4}} - 1 = \sqrt[4]{49} - 1$.

Теперь исходное выражение упростилось до следующего вида:

$(\sqrt[4]{49} + 1)(\sqrt[4]{49} - 1)$

Еще раз применяем формулу разности квадратов. В данном случае $a = \sqrt[4]{49}$ и $b = 1$.

$(\sqrt[4]{49} + 1)(\sqrt[4]{49} - 1) = (\sqrt[4]{49})^2 - 1^2 = 49^{\frac{2}{4}} - 1 = 49^{\frac{1}{2}} - 1 = \sqrt{49} - 1$.

Вычисляем значение:

$\sqrt{49} - 1 = 7 - 1 = 6$.

Ответ: $6$.