Номер 45, страница 171 - гдз по алгебре 11 класс учебник Арефьева, Пирютко

45. Сократите дробь:

а) $\frac{\sqrt[3]{7} + 7}{\sqrt[3]{7}}$;

б) $\frac{\sqrt[3]{5} - 1}{\sqrt[3]{15} - \sqrt[3]{3}}$;

В) $\frac{\sqrt[3]{4} - \sqrt{3}}{\sqrt[3]{2} - \sqrt[4]{3}}$;

Г) $\frac{\sqrt{5} - 8}{2\sqrt{2} - \sqrt[4]{5}}$.

а)Исходная дробь: $ \frac{\sqrt[3]{7} + 7}{\sqrt[3]{7}} $.
Мы можем представить число 7 в числителе как $ (\sqrt[3]{7})^3 $. Тогда числитель примет вид $ \sqrt[3]{7} + (\sqrt[3]{7})^3 $.
Вынесем общий множитель $ \sqrt[3]{7} $ за скобки в числителе:$ \sqrt[3]{7} + (\sqrt[3]{7})^3 = \sqrt[3]{7}(1 + (\sqrt[3]{7})^2) = \sqrt[3]{7}(1 + \sqrt[3]{7^2}) = \sqrt[3]{7}(1 + \sqrt[3]{49}) $.
Теперь подставим полученное выражение обратно в дробь:$ \frac{\sqrt[3]{7}(1 + \sqrt[3]{49})}{\sqrt[3]{7}} $.
Сократив дробь на общий множитель $ \sqrt[3]{7} $, получим:$ 1 + \sqrt[3]{49} $.
В качестве альтернативы можно было почленно разделить числитель на знаменатель:$ \frac{\sqrt[3]{7}}{\sqrt[3]{7}} + \frac{7}{\sqrt[3]{7}} = 1 + \frac{(\sqrt[3]{7})^3}{\sqrt[3]{7}} = 1 + (\sqrt[3]{7})^2 = 1 + \sqrt[3]{49} $.
Ответ: $1 + \sqrt[3]{49}$.

б)Исходная дробь: $ \frac{\sqrt[3]{5} - 1}{\sqrt[3]{15} - \sqrt[3]{3}} $.
Рассмотрим знаменатель дроби: $ \sqrt[3]{15} - \sqrt[3]{3} $.
Используя свойство корней $ \sqrt[n]{ab} = \sqrt[n]{a}\sqrt[n]{b} $, представим $ \sqrt[3]{15} $ как $ \sqrt[3]{5 \cdot 3} = \sqrt[3]{5} \cdot \sqrt[3]{3} $.
Тогда знаменатель можно переписать как $ \sqrt[3]{5} \cdot \sqrt[3]{3} - \sqrt[3]{3} $.
Вынесем общий множитель $ \sqrt[3]{3} $ за скобки:$ \sqrt[3]{3}(\sqrt[3]{5} - 1) $.
Теперь подставим это выражение в знаменатель исходной дроби:$ \frac{\sqrt[3]{5} - 1}{\sqrt[3]{3}(\sqrt[3]{5} - 1)} $.
Сократим дробь на общий множитель $ (\sqrt[3]{5} - 1) $, который не равен нулю:$ \frac{1}{\sqrt[3]{3}} $.
Чтобы избавиться от иррациональности в знаменателе, умножим числитель и знаменатель на $ \sqrt[3]{3^2} = \sqrt[3]{9} $:$ \frac{1 \cdot \sqrt[3]{9}}{\sqrt[3]{3} \cdot \sqrt[3]{9}} = \frac{\sqrt[3]{9}}{\sqrt[3]{27}} = \frac{\sqrt[3]{9}}{3} $.
Ответ: $\frac{\sqrt[3]{9}}{3}$.

в)Исходная дробь: $ \frac{\sqrt[3]{4} - \sqrt{3}}{\sqrt[3]{2} - \sqrt[4]{3}} $.
Рассмотрим числитель дроби: $ \sqrt[3]{4} - \sqrt{3} $.
Представим его члены в виде степеней: $ \sqrt[3]{4} = \sqrt[3]{2^2} = (\sqrt[3]{2})^2 $ и $ \sqrt{3} = 3^{\frac{1}{2}} = (3^{\frac{1}{4}})^2 = (\sqrt[4]{3})^2 $.
Таким образом, числитель представляет собой разность квадратов: $ (\sqrt[3]{2})^2 - (\sqrt[4]{3})^2 $.
Применим формулу разности квадратов $ a^2 - b^2 = (a-b)(a+b) $, где $ a = \sqrt[3]{2} $ и $ b = \sqrt[4]{3} $:$ (\sqrt[3]{2})^2 - (\sqrt[4]{3})^2 = (\sqrt[3]{2} - \sqrt[4]{3})(\sqrt[3]{2} + \sqrt[4]{3}) $.
Подставим полученное выражение в числитель исходной дроби:$ \frac{(\sqrt[3]{2} - \sqrt[4]{3})(\sqrt[3]{2} + \sqrt[4]{3})}{\sqrt[3]{2} - \sqrt[4]{3}} $.
Сократим дробь на общий множитель $ (\sqrt[3]{2} - \sqrt[4]{3}) $:$ \sqrt[3]{2} + \sqrt[4]{3} $.
Ответ: $\sqrt[3]{2} + \sqrt[4]{3}$.

г)Исходная дробь: $ \frac{\sqrt{5} - 8}{2\sqrt{2} - 4\sqrt{5}} $.
Данная дробь в представленном виде не поддается очевидному упрощению стандартными методами, которые применялись в предыдущих пунктах (вынесение общего множителя, формулы сокращенного умножения). Попытка избавиться от иррациональности в знаменателе путем умножения на сопряженное выражение приводит к усложнению дроби. Скорее всего, в условии задачи допущена опечатка.
Одной из вероятных опечаток является ошибка в числителе. Если предположить, что числитель должен был быть $ 2\sqrt{5} - \sqrt{2} $, то задача имеет простое решение. Давайте решим задачу с этим предположением.
Предполагаемая дробь: $ \frac{2\sqrt{5} - \sqrt{2}}{2\sqrt{2} - 4\sqrt{5}} $.
Вынесем в знаменателе общий множитель -2 за скобки:$ 2\sqrt{2} - 4\sqrt{5} = -2(2\sqrt{5} - \sqrt{2}) $.
Подставим это выражение в знаменатель:$ \frac{2\sqrt{5} - \sqrt{2}}{-2(2\sqrt{5} - \sqrt{2})} $.
Теперь мы можем сократить дробь на общий множитель $ (2\sqrt{5} - \sqrt{2}) $:$ \frac{1}{-2} = -\frac{1}{2} $.
Ответ: $-\frac{1}{2}$ (при условии исправления опечатки в числителе на $2\sqrt{5} - \sqrt{2}$).