Номер 42, страница 171 - гдз по алгебре 11 класс учебник Арефьева, Пирютко

42. Вычислите:

а) $ (\sqrt[4]{2} + \sqrt[4]{32})^2 $;

б) $ (\sqrt[4]{243} + \sqrt[4]{3})^2 $.

а) $(\sqrt[4]{2} + \sqrt[4]{32})^2$
Для решения данного примера сначала упростим выражение в скобках. Для этого вынесем множитель из-под знака корня в слагаемом $\sqrt[4]{32}$.
Представим число $32$ как произведение $16$ и $2$, где $16$ является четвертой степенью числа $2$ ($16=2^4$):
$\sqrt[4]{32} = \sqrt[4]{16 \cdot 2} = \sqrt[4]{2^4 \cdot 2} = \sqrt[4]{2^4} \cdot \sqrt[4]{2} = 2\sqrt[4]{2}$.
Теперь подставим полученное выражение обратно в скобки:
$\sqrt[4]{2} + \sqrt[4]{32} = \sqrt[4]{2} + 2\sqrt[4]{2} = (1+2)\sqrt[4]{2} = 3\sqrt[4]{2}$.
Осталось возвести результат в квадрат:
$(3\sqrt[4]{2})^2 = 3^2 \cdot (\sqrt[4]{2})^2 = 9 \cdot (2^{\frac{1}{4}})^2 = 9 \cdot 2^{\frac{2}{4}} = 9 \cdot 2^{\frac{1}{2}} = 9\sqrt{2}$.
Ответ: $9\sqrt{2}$.

б) $(\sqrt[4]{243} + \sqrt[4]{3})^2$
Действуем аналогично предыдущему пункту. Упростим выражение в скобках, начав с $\sqrt[4]{243}$.
Представим число $243$ как произведение $81$ и $3$, где $81$ является четвертой степенью числа $3$ ($81=3^4$):
$\sqrt[4]{243} = \sqrt[4]{81 \cdot 3} = \sqrt[4]{3^4 \cdot 3} = \sqrt[4]{3^4} \cdot \sqrt[4]{3} = 3\sqrt[4]{3}$.
Подставим полученное значение в исходное выражение:
$\sqrt[4]{243} + \sqrt[4]{3} = 3\sqrt[4]{3} + \sqrt[4]{3} = (3+1)\sqrt[4]{3} = 4\sqrt[4]{3}$.
Возведем полученное выражение в квадрат:
$(4\sqrt[4]{3})^2 = 4^2 \cdot (\sqrt[4]{3})^2 = 16 \cdot (3^{\frac{1}{4}})^2 = 16 \cdot 3^{\frac{2}{4}} = 16 \cdot 3^{\frac{1}{2}} = 16\sqrt{3}$.
Ответ: $16\sqrt{3}$.