Номер 49, страница 171 - гдз по алгебре 11 класс учебник Арефьева, Пирютко

49. Запишите в виде степени с рациональным показателем выражение:

а) $\sqrt[7]{b}$;

б) $\sqrt[5]{b^2}$;

в) $\sqrt{b}$;

г) $\sqrt{b^3}$;

д) $\sqrt[10]{b^3}$;

е) $\sqrt[15]{b^7}$.

Для преобразования выражения вида $ \sqrt[n]{a^m} $ в степень с рациональным показателем используется тождество $ \sqrt[n]{a^m} = a^{\frac{m}{n}} $, где $n$ — это показатель корня (натуральное число, $n \ge 2$), а $m$ — это показатель степени подкоренного выражения. Если показатель корня не указан (квадратный корень), то он равен 2. Если показатель степени подкоренного выражения не указан, он равен 1.

а) В выражении $ \sqrt{b} $ показатель корня $n=2$ (квадратный корень), а показатель степени подкоренного выражения $b$ равен $m=1$. Таким образом, применяя формулу, получаем:
$ \sqrt{b} = \sqrt[2]{b^1} = b^{\frac{1}{2}} $.
Ответ: $ b^{\frac{1}{2}} $.

б) В выражении $ \sqrt[5]{b^2} $ показатель корня $n=5$, а показатель степени подкоренного выражения $m=2$. По формуле имеем:
$ \sqrt[5]{b^2} = b^{\frac{2}{5}} $.
Ответ: $ b^{\frac{2}{5}} $.

в) Выражение $ \sqrt{b} $ идентично выражению в пункте а). Показатель корня $n=2$, показатель степени $m=1$.
$ \sqrt{b} = b^{\frac{1}{2}} $.
Ответ: $ b^{\frac{1}{2}} $.

г) В выражении $ \sqrt{b^3} $ показатель корня $n=2$, а показатель степени подкоренного выражения $m=3$. Следовательно:
$ \sqrt{b^3} = b^{\frac{3}{2}} $.
Ответ: $ b^{\frac{3}{2}} $.

д) В выражении $ \sqrt[10]{b^3} $ показатель корня $n=10$, а показатель степени подкоренного выражения $m=3$. По формуле получаем:
$ \sqrt[10]{b^3} = b^{\frac{3}{10}} $.
Ответ: $ b^{\frac{3}{10}} $.

е) В выражении $ \sqrt[15]{b^7} $ показатель корня $n=15$, а показатель степени подкоренного выражения $m=7$. Применяя формулу, находим:
$ \sqrt[15]{b^7} = b^{\frac{7}{15}} $.
Ответ: $ b^{\frac{7}{15}} $.