Номер 55, страница 172 - гдз по алгебре 11 класс учебник Арефьева, Пирютко

55. Найдите десятичный логарифм числа:

а) 1;

б) 10;

в) 100;

г) 100 000;

д) 0,1;

е) 0,01;

ж) 0,0001;

з) 0,000001;

и) $\sqrt{10}$;

к) $\sqrt[3]{10}$;

л) $\sqrt[5]{1000}$;

м) $\sqrt{0,001}$.

Десятичный логарифм (обозначается как $\lg x$ или $\log_{10} x$) — это логарифм по основанию 10. По определению, $\lg a = x$ означает, что $10^x = a$. Для решения задачи необходимо представить каждое число в виде степени числа 10 и найти этот показатель степени.

а) Найдём $\lg 1$. По определению логарифма, нужно найти такую степень $x$, для которой выполняется равенство $10^x = 1$. Любое ненулевое число в степени 0 равно 1, поэтому $x=0$. Следовательно, $\lg 1 = 0$.
Ответ: 0

б) Найдём $\lg 10$. Нужно найти такую степень $x$, что $10^x = 10$. Очевидно, что $x=1$. Следовательно, $\lg 10 = 1$.
Ответ: 1

в) Найдём $\lg 100$. Представим число 100 как степень 10: $100 = 10^2$. Отсюда, по определению логарифма, $\lg 100 = 2$.
Ответ: 2

г) Найдём $\lg 100\;000$. Представим 100 000 как степень 10: $100\;000 = 10^5$. Следовательно, $\lg 100\;000 = 5$.
Ответ: 5

д) Найдём $\lg 0,1$. Представим 0,1 как степень 10: $0,1 = \frac{1}{10} = 10^{-1}$. Следовательно, $\lg 0,1 = -1$.
Ответ: -1

е) Найдём $\lg 0,01$. Представим 0,01 как степень 10: $0,01 = \frac{1}{100} = \frac{1}{10^2} = 10^{-2}$. Следовательно, $\lg 0,01 = -2$.
Ответ: -2

ж) Найдём $\lg 0,0001$. Представим 0,0001 как степень 10: $0,0001 = \frac{1}{10000} = \frac{1}{10^4} = 10^{-4}$. Следовательно, $\lg 0,0001 = -4$.
Ответ: -4

з) Найдём $\lg 0,000001$. Представим 0,000001 как степень 10: $0,000001 = \frac{1}{1000000} = \frac{1}{10^6} = 10^{-6}$. Следовательно, $\lg 0,000001 = -6$.
Ответ: -6

и) Найдём $\lg \sqrt{10}$. Представим корень в виде степени: $\sqrt{10} = 10^{1/2}$. Используя свойство логарифма $\lg(a^p) = p \cdot \lg a$, получаем: $\lg(10^{1/2}) = \frac{1}{2} \cdot \lg 10 = \frac{1}{2} \cdot 1 = \frac{1}{2}$.
Ответ: $\frac{1}{2}$

к) Найдём $\lg \sqrt[3]{10}$. Представим корень в виде степени: $\sqrt[3]{10} = 10^{1/3}$. Тогда $\lg(\sqrt[3]{10}) = \lg(10^{1/3}) = \frac{1}{3} \cdot \lg 10 = \frac{1}{3}$.
Ответ: $\frac{1}{3}$

л) Найдём $\lg \sqrt[5]{1000}$. Сначала преобразуем выражение под логарифмом: $\sqrt[5]{1000} = \sqrt[5]{10^3} = (10^3)^{1/5} = 10^{3/5}$. Таким образом, $\lg(\sqrt[5]{1000}) = \lg(10^{3/5}) = \frac{3}{5}$.
Ответ: $\frac{3}{5}$

м) Найдём $\lg \sqrt{0,001}$. Преобразуем выражение под логарифмом: $0,001 = 10^{-3}$. Тогда $\sqrt{0,001} = \sqrt{10^{-3}} = (10^{-3})^{1/2} = 10^{-3/2}$. Следовательно, $\lg(\sqrt{0,001}) = \lg(10^{-3/2}) = -\frac{3}{2}$.
Ответ: $-\frac{3}{2}$