Номер 61, страница 173 - гдз по алгебре 11 класс учебник Арефьева, Пирютко

61. Воспользуйтесь свойствами логарифмов и вычислите:

a) $\log_5 12{,}5 + \log_5 10;$

б) $\lg 37 - \lg 0{,}37;$

В) $\frac{\lg 64}{\lg 2};$

Г) $\log_{16} 32;$

Д) $\log_{\sqrt{5}} 2 + \log_5 6{,}25;$

е) $\log_6 5 \cdot \log_{25} 6.$

$\log_a (bc) = \log_a b + \log_a c$

$\log_a \frac{b}{c} = \log_a b - \log_a c$

$\log_a b^n = n \log_a b$

$\log_{a^m} b = \frac{1}{m} \log_a b$

а) Для решения используем свойство суммы логарифмов с одинаковым основанием: $ \log_a b + \log_a c = \log_a (bc) $.
$ \log_5 12,5 + \log_5 10 = \log_5 (12,5 \cdot 10) = \log_5 125 $.
Так как $ 5^3 = 125 $, то $ \log_5 125 = 3 $.
Ответ: 3

б) Для решения используем свойство разности логарифмов с одинаковым основанием: $ \log_a b - \log_a c = \log_a (\frac{b}{c}) $. Запись $ \lg x $ означает логарифм по основанию 10, то есть $ \log_{10} x $.
$ \lg 37 - \lg 0,37 = \lg(\frac{37}{0,37}) = \lg(\frac{37}{37/100}) = \lg(37 \cdot \frac{100}{37}) = \lg 100 $.
Так как $ 10^2 = 100 $, то $ \lg 100 = 2 $.
Ответ: 2

в) Используем формулу перехода к новому основанию: $ \frac{\log_c b}{\log_c a} = \log_a b $.
В данном случае $ c=10 $ (поскольку используется $ \lg $), $ b=64 $, $ a=2 $.
$ \frac{\lg 64}{\lg 2} = \log_2 64 $.
Так как $ 2^6 = 64 $, то $ \log_2 64 = 6 $.
Альтернативный способ: Представим $ 64 $ как степень $ 2 $: $ 64 = 2^6 $. Тогда $ \lg 64 = \lg(2^6) $. По свойству $ \log_a (b^n) = n \log_a b $, получаем $ \lg(2^6) = 6 \lg 2 $.
$ \frac{\lg 64}{\lg 2} = \frac{6 \lg 2}{\lg 2} = 6 $.
Ответ: 6

г) Представим основание и аргумент логарифма в виде степеней одного и того же числа. В данном случае это число 2, так как $ 16 = 2^4 $ и $ 32 = 2^5 $.
$ \log_{16} 32 = \log_{2^4} (2^5) $.
Используем свойство $ \log_{a^m} (b^n) = \frac{n}{m} \log_a b $.
$ \log_{2^4} (2^5) = \frac{5}{4} \log_2 2 $.
Поскольку $ \log_2 2 = 1 $, получаем $ \frac{5}{4} \cdot 1 = \frac{5}{4} = 1,25 $.
Ответ: 1,25

д) Приведем логарифмы к одному основанию 5. Заметим, что $ \sqrt{5} = 5^{1/2} $.
Преобразуем первый член, используя свойство $ \log_{a^m} b = \frac{1}{m} \log_a b $:
$ \log_{\sqrt{5}} 2 = \log_{5^{1/2}} 2 = \frac{1}{1/2} \log_5 2 = 2 \log_5 2 $.
Используя свойство $ n \log_a b = \log_a (b^n) $, получаем: $ 2 \log_5 2 = \log_5 (2^2) = \log_5 4 $.
Теперь исходное выражение имеет вид: $ \log_5 4 + \log_5 6,25 $.
Применяем свойство суммы логарифмов: $ \log_5 4 + \log_5 6,25 = \log_5 (4 \cdot 6,25) = \log_5 25 $.
Так как $ 5^2 = 25 $, то $ \log_5 25 = 2 $.
Ответ: 2

е) Преобразуем второй множитель, представив его основание $ 25 $ как степень числа $ 5 $: $ 25 = 5^2 $.
$ \log_{25} 6 = \log_{5^2} 6 $.
Используем свойство $ \log_{a^m} b = \frac{1}{m} \log_a b $: $ \log_{5^2} 6 = \frac{1}{2} \log_5 6 $.
Исходное выражение принимает вид: $ \log_6 5 \cdot \frac{1}{2} \log_5 6 $.
Перегруппируем множители: $ \frac{1}{2} \cdot (\log_6 5 \cdot \log_5 6) $.
Используем свойство $ \log_b a \cdot \log_a b = 1 $.
$ \frac{1}{2} \cdot (\log_6 5 \cdot \log_5 6) = \frac{1}{2} \cdot 1 = \frac{1}{2} = 0,5 $.
Ответ: 0,5