Номер 58, страница 173 - гдз по алгебре 11 класс учебник Арефьева, Пирютко

58. Найдите два последовательных целых числа, между которыми на координатной прямой находится число:

а) $ \sqrt[4]{83}; $

б) $ \log_2 33; $

в)* $ 10\sin \frac{7\pi}{4}. $

а) Нам нужно найти два последовательных целых числа $n$ и $n+1$, для которых выполняется неравенство $n < \sqrt[4]{83} < n+1$. Так как функция возведения в четвертую степень $y=x^4$ является возрастающей для положительных чисел, это неравенство эквивалентно неравенству $n^4 < 83 < (n+1)^4$.
Подберем целые числа, четвертая степень которых близка к 83. Рассмотрим степени последовательных целых чисел:
$3^4 = 81$
$4^4 = 256$
Поскольку $81 < 83 < 256$, то $3^4 < 83 < 4^4$. Извлекая корень четвертой степени из всех частей неравенства, получаем $3 < \sqrt[4]{83} < 4$.
Следовательно, искомые числа — это 3 и 4.
Ответ: 3 и 4.

б) Ищем два последовательных целых числа $n$ и $n+1$, для которых $n < \log_2 33 < n+1$. Так как логарифмическая функция с основанием 2 ($y=\log_2 x$) является возрастающей, данное неравенство эквивалентно неравенству $2^n < 33 < 2^{n+1}$.
Подберем степени числа 2, близкие к 33.
$2^5 = 32$
$2^6 = 64$
Поскольку $32 < 33 < 64$, то $2^5 < 33 < 2^6$. Прологарифмировав все части неравенства по основанию 2, получаем $\log_2(2^5) < \log_2 33 < \log_2(2^6)$, что равносильно $5 < \log_2 33 < 6$.
Следовательно, искомые числа — это 5 и 6.
Ответ: 5 и 6.

в)* Сначала необходимо вычислить значение выражения $10\sin\frac{7\pi}{4}$.
Найдем значение синуса. Угол $\frac{7\pi}{4}$ находится в четвертой четверти и может быть представлен как $2\pi - \frac{\pi}{4}$. Используя формулу приведения, получаем: $\sin\frac{7\pi}{4} = \sin(2\pi - \frac{\pi}{4}) = -\sin\frac{\pi}{4} = -\frac{\sqrt{2}}{2}$.
Теперь вычислим значение всего выражения: $10 \cdot (-\frac{\sqrt{2}}{2}) = -5\sqrt{2}$.
Далее найдем два последовательных целых числа $n$ и $n+1$, для которых выполняется неравенство $n < -5\sqrt{2} < n+1$.
Для оценки значения $-5\sqrt{2}$ внесем 5 под знак корня: $-5\sqrt{2} = -\sqrt{25 \cdot 2} = -\sqrt{50}$.
Теперь найдем квадраты целых чисел, между которыми находится 50.
$7^2 = 49$
$8^2 = 64$
Так как $49 < 50 < 64$, то, извлекая квадратный корень, получаем $\sqrt{49} < \sqrt{50} < \sqrt{64}$, что означает $7 < \sqrt{50} < 8$.
Умножим все части этого неравенства на -1, при этом знаки неравенства изменятся на противоположные: $-8 < -\sqrt{50} < -7$.
Следовательно, $-8 < -5\sqrt{2} < -7$.
Искомые числа — это -8 и -7.
Ответ: -8 и -7.