Номер 54, страница 172 - гдз по алгебре 11 класс учебник Арефьева, Пирютко

54. Воспользуйтесь определением логарифма числа и вычислите:

а) $\log_2 32;$

б) $\log_3 \frac{1}{9};$

в) $\log_{25} 5;$

г) $\log_2 1;$

д) $\log_7 \sqrt[5]{7};$

е) $\log_{\sqrt{3}} 27.$

Для решения всех пунктов воспользуемся определением логарифма: логарифмом положительного числа $b$ по основанию $a$ (где $a > 0$ и $a \neq 1$) называется показатель степени $c$, в которую нужно возвести основание $a$, чтобы получить число $b$.

Математически это записывается так: $\log_a b = c \Leftrightarrow a^c = b$.

а) $\log_2 32$

Пусть $\log_2 32 = x$. Согласно определению логарифма, это эквивалентно уравнению $2^x = 32$.

Чтобы найти $x$, представим число 32 в виде степени с основанием 2:

$32 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 = 2^5$.

Теперь уравнение имеет вид: $2^x = 2^5$.

Так как основания степеней равны, то равны и их показатели. Следовательно, $x = 5$.

Ответ: 5

б) $\log_3 \frac{1}{9}$

Пусть $\log_3 \frac{1}{9} = x$. По определению логарифма, это равносильно уравнению $3^x = \frac{1}{9}$.

Представим дробь $\frac{1}{9}$ в виде степени с основанием 3. Так как $9 = 3^2$, то, используя свойство отрицательной степени $a^{-n} = \frac{1}{a^n}$, получаем:

$\frac{1}{9} = \frac{1}{3^2} = 3^{-2}$.

Уравнение принимает вид: $3^x = 3^{-2}$.

Следовательно, $x = -2$.

Ответ: -2

в) $\log_{25} 5$

Пусть $\log_{25} 5 = x$. По определению логарифма, имеем уравнение $25^x = 5$.

Для решения приведем левую часть уравнения к основанию 5. Мы знаем, что $25 = 5^2$.

Подставим это в уравнение: $(5^2)^x = 5$.

Используя свойство степени $(a^m)^n = a^{mn}$, получаем: $5^{2x} = 5^1$.

Приравниваем показатели степеней: $2x = 1$.

Отсюда находим $x = \frac{1}{2}$.

Ответ: $\frac{1}{2}$

г) $\log_2 1$

Пусть $\log_2 1 = x$. Согласно определению логарифма, $2^x = 1$.

Любое число (кроме нуля) в нулевой степени равно единице, то есть $a^0 = 1$ для $a \neq 0$.

Таким образом, $2^0 = 1$.

Наше уравнение можно записать как $2^x = 2^0$.

Следовательно, $x = 0$.

Ответ: 0

д) $\log_7 \sqrt[5]{7}$

Пусть $\log_7 \sqrt[5]{7} = x$. По определению логарифма, $7^x = \sqrt[5]{7}$.

Представим корень пятой степени в виде степени с рациональным показателем, используя формулу $\sqrt[n]{a} = a^{\frac{1}{n}}$.

$\sqrt[5]{7} = 7^{\frac{1}{5}}$.

Уравнение принимает вид: $7^x = 7^{\frac{1}{5}}$.

Отсюда следует, что $x = \frac{1}{5}$.

Ответ: $\frac{1}{5}$

е) $\log_{\sqrt{3}} 27$

Пусть $\log_{\sqrt{3}} 27 = x$. По определению логарифма, $(\sqrt{3})^x = 27$.

Чтобы решить это уравнение, представим и основание логарифма $\sqrt{3}$, и число 27 как степени одного и того же числа, в данном случае — числа 3.

$\sqrt{3} = 3^{\frac{1}{2}}$

$27 = 3 \cdot 3 \cdot 3 = 3^3$

Подставляем эти выражения в исходное уравнение: $(3^{\frac{1}{2}})^x = 3^3$.

Применяем свойство степени $(a^m)^n = a^{mn}$: $3^{\frac{1}{2}x} = 3^3$.

Приравниваем показатели степеней: $\frac{1}{2}x = 3$.

Умножим обе части уравнения на 2, чтобы найти $x$: $x = 3 \cdot 2 = 6$.

Ответ: 6