Номер 47, страница 171 - гдз по алгебре 11 класс учебник Арефьева, Пирютко

47. Упростите выражение:

a) $\frac{30}{\sqrt[3]{25}} - \sqrt[3]{5}$;

б) $\sqrt[5]{2} + \frac{8}{\sqrt[5]{16}};

B) $\sqrt[4]{3} - \frac{54}{\sqrt[4]{27}}$.

а) $\frac{30}{\sqrt[3]{25}} - \sqrt[3]{5}$

Для упрощения выражения сначала преобразуем первое слагаемое $\frac{30}{\sqrt[3]{25}}$.

Представим число в знаменателе как степень: $25 = 5^2$. Тогда знаменатель равен $\sqrt[3]{5^2}$.

Чтобы избавиться от иррациональности в знаменателе, умножим числитель и знаменатель дроби на $\sqrt[3]{5}$. Это позволит получить в знаменателе куб под знаком кубического корня.

$\frac{30}{\sqrt[3]{5^2}} = \frac{30 \cdot \sqrt[3]{5}}{\sqrt[3]{5^2} \cdot \sqrt[3]{5}} = \frac{30\sqrt[3]{5}}{\sqrt[3]{5^3}} = \frac{30\sqrt[3]{5}}{5} = 6\sqrt[3]{5}$.

Теперь подставим полученное значение обратно в исходное выражение:

$6\sqrt[3]{5} - \sqrt[3]{5}$.

Так как оба слагаемых содержат одинаковый множитель $\sqrt[3]{5}$, мы можем их вычесть:

$(6-1)\sqrt[3]{5} = 5\sqrt[3]{5}$.

Ответ: $5\sqrt[3]{5}$.

б) $\sqrt[5]{2} + \frac{8}{\sqrt[5]{16}}$

Упростим второе слагаемое $\frac{8}{\sqrt[5]{16}}$.

Представим число в знаменателе как степень: $16 = 2^4$. Тогда знаменатель равен $\sqrt[5]{2^4}$.

Чтобы избавиться от иррациональности в знаменателе, умножим числитель и знаменатель дроби на $\sqrt[5]{2}$. Это позволит получить в знаменателе пятую степень под знаком корня пятой степени.

$\frac{8}{\sqrt[5]{2^4}} = \frac{8 \cdot \sqrt[5]{2}}{\sqrt[5]{2^4} \cdot \sqrt[5]{2}} = \frac{8\sqrt[5]{2}}{\sqrt[5]{2^5}} = \frac{8\sqrt[5]{2}}{2} = 4\sqrt[5]{2}$.

Теперь подставим полученное значение обратно в исходное выражение:

$\sqrt[5]{2} + 4\sqrt[5]{2}$.

Сложим подобные слагаемые:

$(1+4)\sqrt[5]{2} = 5\sqrt[5]{2}$.

Ответ: $5\sqrt[5]{2}$.

в) $\sqrt[4]{3} - \frac{54}{\sqrt[4]{27}}$

Упростим вычитаемое $\frac{54}{\sqrt[4]{27}}$.

Представим число в знаменателе как степень: $27 = 3^3$. Тогда знаменатель равен $\sqrt[4]{3^3}$.

Чтобы избавиться от иррациональности в знаменателе, умножим числитель и знаменатель дроби на $\sqrt[4]{3}$. Это позволит получить в знаменателе четвертую степень под знаком корня четвертой степени.

$\frac{54}{\sqrt[4]{3^3}} = \frac{54 \cdot \sqrt[4]{3}}{\sqrt[4]{3^3} \cdot \sqrt[4]{3}} = \frac{54\sqrt[4]{3}}{\sqrt[4]{3^4}} = \frac{54\sqrt[4]{3}}{3} = 18\sqrt[4]{3}$.

Теперь подставим полученное значение обратно в исходное выражение:

$\sqrt[4]{3} - 18\sqrt[4]{3}$.

Вычтем подобные слагаемые:

$(1-18)\sqrt[4]{3} = -17\sqrt[4]{3}$.

Ответ: $-17\sqrt[4]{3}$.