Номер 43, страница 171 - гдз по алгебре 11 класс учебник Арефьева, Пирютко

43. Определите, рациональным или иррациональным числом является значение выражения:

а) $(\sqrt[3]{16} + \sqrt[3]{2}) \cdot \sqrt[3]{4}$;

б) $3\sqrt[5]{3} \cdot (4\sqrt[5]{729} - 5\sqrt[5]{3})$;

в) $(7\sqrt[3]{2} + \sqrt[3]{256}) : \sqrt[3]{2}$;

г) $(\sqrt[3]{625} - 2\sqrt[3]{5}) : \sqrt[3]{135}$.

а) Для того чтобы определить, является ли значение выражения $(\sqrt[3]{16} + \sqrt[3]{2}) \cdot \sqrt[3]{4}$ рациональным или иррациональным числом, упростим его. Раскроем скобки, используя распределительный закон умножения:

$(\sqrt[3]{16} + \sqrt[3]{2}) \cdot \sqrt[3]{4} = \sqrt[3]{16} \cdot \sqrt[3]{4} + \sqrt[3]{2} \cdot \sqrt[3]{4}$

Используем свойство корней $\sqrt[n]{a} \cdot \sqrt[n]{b} = \sqrt[n]{ab}$:

$\sqrt[3]{16 \cdot 4} + \sqrt[3]{2 \cdot 4} = \sqrt[3]{64} + \sqrt[3]{8}$

Вычислим значения кубических корней:

$\sqrt[3]{64} = 4$ (так как $4^3 = 64$)

$\sqrt[3]{8} = 2$ (так как $2^3 = 8$)

Сложим полученные значения:

$4 + 2 = 6$

Число 6 является целым, а любое целое число является рациональным.

Ответ: рациональное число.

б) Рассмотрим выражение $3\sqrt[5]{3} \cdot (4\sqrt[5]{729} - 5\sqrt[5]{3})$. Сначала упростим корень $\sqrt[5]{729}$.

Представим число 729 в виде степени: $729 = 3^6 = 3^5 \cdot 3$.

Тогда $\sqrt[5]{729} = \sqrt[5]{3^5 \cdot 3} = 3\sqrt[5]{3}$.

Подставим это значение в исходное выражение:

$3\sqrt[5]{3} \cdot (4 \cdot 3\sqrt[5]{3} - 5\sqrt[5]{3}) = 3\sqrt[5]{3} \cdot (12\sqrt[5]{3} - 5\sqrt[5]{3})$

Упростим выражение в скобках:

$12\sqrt[5]{3} - 5\sqrt[5]{3} = (12-5)\sqrt[5]{3} = 7\sqrt[5]{3}$

Теперь выполним умножение:

$3\sqrt[5]{3} \cdot 7\sqrt[5]{3} = (3 \cdot 7) \cdot (\sqrt[5]{3} \cdot \sqrt[5]{3}) = 21 \cdot \sqrt[5]{3^2} = 21\sqrt[5]{9}$

Число $\sqrt[5]{9}$ не может быть представлено в виде дроби $\frac{p}{q}$, так как 9 не является пятой степенью рационального числа. Следовательно, $\sqrt[5]{9}$ — иррациональное число. Произведение ненулевого рационального числа (21) на иррациональное ($\sqrt[5]{9}$) является иррациональным числом.

Ответ: иррациональное число.

в) Упростим выражение $(7\sqrt[7]{2} + \sqrt[7]{256}) : \sqrt[7]{2}$.

Разделим каждый член в скобках на $\sqrt[7]{2}$, используя свойство $\sqrt[n]{a} : \sqrt[n]{b} = \sqrt[n]{\frac{a}{b}}$:

$(7\sqrt[7]{2} : \sqrt[7]{2}) + (\sqrt[7]{256} : \sqrt[7]{2}) = 7 + \sqrt[7]{\frac{256}{2}} = 7 + \sqrt[7]{128}$

Вычислим значение корня $\sqrt[7]{128}$.

Так как $2^7 = 128$, то $\sqrt[7]{128} = 2$.

Подставим это значение в выражение:

$7 + 2 = 9$

Число 9 является целым, а значит, и рациональным числом.

Ответ: рациональное число.

г) Рассмотрим выражение $(\sqrt[3]{625} - 2\sqrt[3]{5}) : \sqrt[3]{135}$.

Упростим каждый из корней, вынеся множитель из-под знака корня. Для $\sqrt[3]{625}$: $625 = 125 \cdot 5 = 5^3 \cdot 5$, поэтому $\sqrt[3]{625} = \sqrt[3]{5^3 \cdot 5} = 5\sqrt[3]{5}$. Для $\sqrt[3]{135}$: $135 = 27 \cdot 5 = 3^3 \cdot 5$, поэтому $\sqrt[3]{135} = \sqrt[3]{3^3 \cdot 5} = 3\sqrt[3]{5}$.

Подставим упрощенные значения в исходное выражение:

$(5\sqrt[3]{5} - 2\sqrt[3]{5}) : (3\sqrt[3]{5})$

Выполним вычитание в скобках:

$(5-2)\sqrt[3]{5} = 3\sqrt[3]{5}$

Теперь выполним деление:

$(3\sqrt[3]{5}) : (3\sqrt[3]{5}) = \frac{3\sqrt[3]{5}}{3\sqrt[3]{5}} = 1$

Число 1 является целым, следовательно, оно рациональное.

Ответ: рациональное число.