Номер 36, страница 170 - гдз по алгебре 11 класс учебник Арефьева, Пирютко

36. Представьте в виде корня n-й степени выражение:

а) $\sqrt[3]{\sqrt[3]{2}}$;б) $\sqrt[4]{\sqrt{5}}$;в) $\sqrt[5]{\sqrt{36}}$;г) $\sqrt[5]{\sqrt[6]{32}}$.

Для решения данной задачи воспользуемся свойством корней: $\sqrt[m]{\sqrt[k]{a}} = \sqrt[m \cdot k]{a}$. Это свойство гласит, что корень из корня равен корню, показатель которого равен произведению показателей исходных корней, а подкоренное выражение остается тем же.

а) $\sqrt[3]{\sqrt[3]{2}}$

В данном выражении показатели корней равны $3$ и $3$. По свойству корня из корня, мы должны перемножить показатели:

$m=3$, $k=3$

$\sqrt[3]{\sqrt[3]{2}} = \sqrt[3 \cdot 3]{2} = \sqrt[9]{2}$

Таким образом, выражение преобразуется в корень 9-й степени из 2.

Ответ: $\sqrt[9]{2}$

б) $\sqrt[4]{\sqrt{5}}$

Внешний корень имеет показатель $4$. Внутренний корень является квадратным, его показатель по умолчанию равен $2$. Перемножим показатели корней:

$m=4$, $k=2$

$\sqrt[4]{\sqrt{5}} = \sqrt[4 \cdot 2]{5} = \sqrt[8]{5}$

Выражение преобразуется в корень 8-й степени из 5.

Ответ: $\sqrt[8]{5}$

в) $\sqrt{\sqrt[5]{36}}$

Внешний корень является квадратным (показатель $2$), а внутренний — 5-й степени. Перемножим показатели:

$m=2$, $k=5$

$\sqrt{\sqrt[5]{36}} = \sqrt[2 \cdot 5]{36} = \sqrt[10]{36}$

Заметим, что подкоренное выражение $36$ можно представить как $6^2$. Подставим это в выражение:

$\sqrt[10]{36} = \sqrt[10]{6^2}$

Теперь воспользуемся свойством $\sqrt[nk]{a^{mk}} = \sqrt[n]{a^m}$, которое позволяет сокращать показатель корня и показатель степени подкоренного выражения на их общий делитель. В данном случае общий делитель для $10$ и $2$ равен $2$.

$\sqrt[10]{6^2} = \sqrt[5 \cdot 2]{6^{1 \cdot 2}} = \sqrt[5]{6^1} = \sqrt[5]{6}$

Ответ: $\sqrt[5]{6}$

г) $\sqrt[5]{\sqrt[6]{32}}$

Показатели корней равны $5$ и $6$. Перемножим их:

$m=5$, $k=6$

$\sqrt[5]{\sqrt[6]{32}} = \sqrt[5 \cdot 6]{32} = \sqrt[30]{32}$

Подкоренное выражение $32$ можно представить как степень двойки: $32 = 2^5$.

$\sqrt[30]{32} = \sqrt[30]{2^5}$

Сократим показатель корня ($30$) и показатель степени подкоренного выражения ($5$) на их наибольший общий делитель, который равен $5$.

$\sqrt[30]{2^5} = \sqrt[6 \cdot 5]{2^{1 \cdot 5}} = \sqrt[6]{2^1} = \sqrt[6]{2}$

Ответ: $\sqrt[6]{2}$