Номер 34, страница 170 - гдз по алгебре 11 класс учебник Арефьева, Пирютко

34. Представьте выражение $\sqrt{3}$ в виде корня:

а) четвертой степени;

б) шестой степени;

в) десятой степени;

г) тридцать второй степени.

Для того чтобы представить выражение $\sqrt{3}$ в виде корня другой степени, воспользуемся основным свойством корня: для любого натурального $n$, $k$ и любого неотрицательного $a$ справедливо равенство $\sqrt[n]{a} = \sqrt[n \cdot k]{a^k}$. Исходное выражение $\sqrt{3}$ является корнем второй степени, то есть $\sqrt[2]{3}$. В данном случае $n=2$ и $a=3$.

а) четвертой степени

Требуется представить $\sqrt{3}$ в виде корня четвертой степени. Исходный корень является корнем второй степени: $\sqrt{3} = \sqrt[2]{3}$. Чтобы получить корень четвертой степени из корня второй степени, нужно показатель корня $n=2$ умножить на $k=2$, так как $2 \cdot 2 = 4$. При этом, чтобы значение выражения не изменилось, подкоренное выражение $a=3$ нужно возвести в ту же степень $k=2$.

Применяем формулу: $\sqrt{3} = \sqrt[2]{3} = \sqrt[2 \cdot 2]{3^2} = \sqrt[4]{9}$.

Ответ: $\sqrt[4]{9}$.

б) шестой степени

Требуется представить $\sqrt{3}$ в виде корня шестой степени. Чтобы получить корень шестой степени из корня второй степени, нужно показатель корня $n=2$ умножить на $k=3$, так как $2 \cdot 3 = 6$. Подкоренное выражение $a=3$ нужно возвести в степень $k=3$.

Применяем формулу: $\sqrt{3} = \sqrt[2]{3} = \sqrt[2 \cdot 3]{3^3} = \sqrt[6]{27}$.

Ответ: $\sqrt[6]{27}$.

в) десятой степени

Требуется представить $\sqrt{3}$ в виде корня десятой степени. Чтобы получить корень десятой степени, нужно показатель корня $n=2$ умножить на $k=5$, так как $2 \cdot 5 = 10$. Подкоренное выражение $a=3$ нужно возвести в степень $k=5$.

Применяем формулу: $\sqrt{3} = \sqrt[2]{3} = \sqrt[2 \cdot 5]{3^5}$.

Вычислим подкоренное выражение: $3^5 = 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 = 243$.

Таким образом, $\sqrt{3} = \sqrt[10]{243}$.

Ответ: $\sqrt[10]{243}$.

г) тридцать второй степени

Требуется представить $\sqrt{3}$ в виде корня тридцать второй степени. Чтобы получить корень тридцать второй степени, нужно показатель корня $n=2$ умножить на $k=16$, так как $2 \cdot 16 = 32$. Подкоренное выражение $a=3$ нужно возвести в степень $k=16$.

Применяем формулу: $\sqrt{3} = \sqrt[2]{3} = \sqrt[2 \cdot 16]{3^{16}} = \sqrt[32]{3^{16}}$.

Подкоренное выражение $3^{16}$ является большим числом ($3^{16} = 43046721$), поэтому его можно оставить в виде степени.

Ответ: $\sqrt[32]{3^{16}}$.