Номер 27, страница 169 - гдз по алгебре 11 класс учебник Арефьева, Пирютко

27. Вычислите:

a) $\sqrt[3]{0,25\cos\frac{\pi}{3}}$;

б) $\sqrt[3]{27\sin\frac{3\pi}{2}}$;

в) $\sqrt[5]{\operatorname{ctg}\frac{13\pi}{4}}$;

г) $\sqrt[4]{27\sqrt{3}\operatorname{tg}\frac{4\pi}{3}}$.

а) $\sqrt[3]{0,25\cos\frac{\pi}{3}}$
Для решения этого примера сначала вычислим значение выражения под знаком корня.
1. Находим значение тригонометрической функции: $\cos\frac{\pi}{3}$ — это косинус угла в $60^\circ$, который равен $\frac{1}{2}$.
$\cos\frac{\pi}{3} = \frac{1}{2}$.
2. Представляем десятичную дробь 0,25 в виде обыкновенной дроби: $0,25 = \frac{25}{100} = \frac{1}{4}$.
3. Подставляем полученные значения в исходное выражение:
$\sqrt[3]{0,25\cos\frac{\pi}{3}} = \sqrt[3]{\frac{1}{4} \cdot \frac{1}{2}} = \sqrt[3]{\frac{1}{8}}$.
4. Извлекаем кубический корень:
$\sqrt[3]{\frac{1}{8}} = \frac{1}{2}$.
Ответ: $\frac{1}{2}$

б) $\sqrt[3]{27\sin\frac{3\pi}{2}}$
1. Находим значение тригонометрической функции: $\sin\frac{3\pi}{2}$ — это синус угла в $270^\circ$, который равен -1.
$\sin\frac{3\pi}{2} = -1$.
2. Подставляем полученное значение в выражение:
$\sqrt[3]{27\sin\frac{3\pi}{2}} = \sqrt[3]{27 \cdot (-1)} = \sqrt[3]{-27}$.
3. Извлекаем кубический корень. Так как $(-3)^3 = -27$, то:
$\sqrt[3]{-27} = -3$.
Ответ: -3

в) $\sqrt[5]{\ctg\frac{13\pi}{4}}$
1. Упростим аргумент тригонометрической функции, используя свойство периодичности котангенса (период равен $\pi$).
$\frac{13\pi}{4} = \frac{12\pi + \pi}{4} = 3\pi + \frac{\pi}{4}$.
$\ctg\frac{13\pi}{4} = \ctg(3\pi + \frac{\pi}{4}) = \ctg\frac{\pi}{4}$.
2. Находим значение $\ctg\frac{\pi}{4}$. Это котангенс угла в $45^\circ$, который равен 1.
$\ctg\frac{\pi}{4} = 1$.
3. Подставляем значение в исходное выражение:
$\sqrt[5]{\ctg\frac{13\pi}{4}} = \sqrt[5]{1} = 1$.
Ответ: 1

г) $\sqrt[4]{27\sqrt{3}\tg\frac{4\pi}{3}}$
1. Упростим аргумент тригонометрической функции, используя свойство периодичности тангенса (период равен $\pi$).
$\frac{4\pi}{3} = \frac{3\pi + \pi}{3} = \pi + \frac{\pi}{3}$.
$\tg\frac{4\pi}{3} = \tg(\pi + \frac{\pi}{3}) = \tg\frac{\pi}{3}$.
2. Находим значение $\tg\frac{\pi}{3}$. Это тангенс угла в $60^\circ$, который равен $\sqrt{3}$.
$\tg\frac{\pi}{3} = \sqrt{3}$.
3. Подставляем полученное значение в выражение под корнем:
$\sqrt[4]{27\sqrt{3} \cdot \tg\frac{\pi}{3}} = \sqrt[4]{27\sqrt{3} \cdot \sqrt{3}}$.
4. Выполняем умножение под корнем:
$\sqrt[4]{27 \cdot (\sqrt{3} \cdot \sqrt{3})} = \sqrt[4]{27 \cdot 3} = \sqrt[4]{81}$.
5. Извлекаем корень четвертой степени. Так как $3^4 = 81$, то:
$\sqrt[4]{81} = 3$.
Ответ: 3