Номер 28, страница 169 - гдз по алгебре 11 класс учебник Арефьева, Пирютко

28. Найдите два последовательных целых числа, между которыми на координатной прямой находится число:

a) $\sqrt{2}$;

б) $\sqrt[3]{7}$;

в) $\sqrt[4]{19}$;

г) $\sqrt[3]{29}$;

д) $-\sqrt[4]{83}$;

е) $-\sqrt[3]{123}$.

Для решения этой задачи необходимо для каждого заданного числа найти два последовательных целых числа $n$ и $n+1$, между которыми оно заключено. Общий метод заключается в том, чтобы оценить данное иррациональное число, сравнивая его со степенями целых чисел (квадратами для квадратного корня, кубами для кубического корня и т.д.).

Мы ищем два последовательных целых числа $n$ и $n+1$, такие что $n < \sqrt{2} < n+1$. Возведем все части неравенства в квадрат, чтобы избавиться от корня: $n^2 < (\sqrt{2})^2 < (n+1)^2$. Это эквивалентно неравенству $n^2 < 2 < (n+1)^2$. Рассмотрим квадраты целых чисел: $1^2 = 1$ и $2^2 = 4$. Мы видим, что $1 < 2 < 4$, следовательно, $1^2 < 2 < 2^2$. Извлекая квадратный корень из всех частей этого неравенства, получаем $\sqrt{1} < \sqrt{2} < \sqrt{4}$, что дает нам $1 < \sqrt{2} < 2$. Таким образом, число $\sqrt{2}$ находится между целыми числами 1 и 2. Ответ: 1 и 2.

Нам нужно найти два последовательных целых числа $n$ и $n+1$, для которых выполняется неравенство $n < \sqrt[3]{7} < n+1$. Возведем все части неравенства в куб: $n^3 < (\sqrt[3]{7})^3 < (n+1)^3$. Упрощая, получаем $n^3 < 7 < (n+1)^3$. Рассмотрим кубы целых чисел: $1^3 = 1$ и $2^3 = 8$. Поскольку $1 < 7 < 8$, мы имеем $1^3 < 7 < 2^3$. Извлекая кубический корень из всех частей, получаем $\sqrt[3]{1} < \sqrt[3]{7} < \sqrt[3]{8}$, то есть $1 < \sqrt[3]{7} < 2$. Следовательно, число $\sqrt[3]{7}$ находится между 1 и 2. Ответ: 1 и 2.

Ищем два последовательных целых числа $n$ и $n+1$, такие что $n < \sqrt[4]{19} < n+1$. Возведем все части неравенства в четвертую степень: $n^4 < (\sqrt[4]{19})^4 < (n+1)^4$. Это дает нам $n^4 < 19 < (n+1)^4$. Рассмотрим четвертые степени целых чисел: $2^4 = 16$ и $3^4 = 81$. Так как $16 < 19 < 81$, мы можем записать $2^4 < 19 < 3^4$. Извлекая корень четвертой степени из всех частей, получаем $\sqrt[4]{16} < \sqrt[4]{19} < \sqrt[4]{81}$, что равносильно $2 < \sqrt[4]{19} < 3$. Значит, число $\sqrt[4]{19}$ заключено между 2 и 3. Ответ: 2 и 3.

Нужно найти два последовательных целых числа $n$ и $n+1$, удовлетворяющих неравенству $n < \sqrt[3]{29} < n+1$. Возведем неравенство в куб: $n^3 < (\sqrt[3]{29})^3 < (n+1)^3$. Получаем $n^3 < 29 < (n+1)^3$. Рассмотрим кубы целых чисел: $3^3 = 27$ и $4^3 = 64$. Так как $27 < 29 < 64$, то справедливо неравенство $3^3 < 29 < 4^3$. Извлекая кубический корень из всех частей, получаем $\sqrt[3]{27} < \sqrt[3]{29} < \sqrt[3]{64}$, что дает $3 < \sqrt[3]{29} < 4$. Следовательно, число $\sqrt[3]{29}$ находится между 3 и 4. Ответ: 3 и 4.

Сначала найдем, между какими целыми числами находится положительное число $\sqrt[4]{83}$. Ищем $n$, такое что $n < \sqrt[4]{83} < n+1$, что эквивалентно $n^4 < 83 < (n+1)^4$. Рассмотрим четвертые степени целых чисел: $3^4 = 81$ и $4^4 = 256$. Поскольку $81 < 83 < 256$, то $3^4 < 83 < 4^4$. Извлекая корень четвертой степени, получаем $3 < \sqrt[4]{83} < 4$. Теперь рассмотрим отрицательное число $-\sqrt[4]{83}$. Умножим неравенство $3 < \sqrt[4]{83} < 4$ на -1. При этом знаки неравенства меняются на противоположные: $-3 > -\sqrt[4]{83} > -4$. Записав это неравенство в порядке возрастания, получим $-4 < -\sqrt[4]{83} < -3$. Таким образом, число $-\sqrt[4]{83}$ находится между -4 и -3. Ответ: -4 и -3.

Найдем сначала положение положительного числа $\sqrt[3]{123}$. Ищем целое число $n$, такое что $n < \sqrt[3]{123} < n+1$, что равносильно $n^3 < 123 < (n+1)^3$. Рассмотрим кубы целых чисел: $4^3 = 64$ и $5^3 = 125$. Так как $64 < 123 < 125$, то $4^3 < 123 < 5^3$. Извлекая кубический корень, получаем $4 < \sqrt[3]{123} < 5$. Теперь рассмотрим отрицательное число $-\sqrt[3]{123}$. Умножим неравенство $4 < \sqrt[3]{123} < 5$ на -1, изменив знаки неравенства: $-4 > -\sqrt[3]{123} > -5$. Запишем в стандартном виде: $-5 < -\sqrt[3]{123} < -4$. Следовательно, число $-\sqrt[3]{123}$ находится между -5 и -4. Ответ: -5 и -4.