Номер 25, страница 169 - гдз по алгебре 11 класс учебник Арефьева, Пирютко

25. Из данных выражений выберите выражения, имеющие смысл:

а) $ \sqrt[8]{2}; $

б) $ \sqrt[6]{-11}; $

в) $ \sqrt[5]{7}; $

г) $ \sqrt[3]{-5}; $

д) $ \sqrt[10]{0}; $

е) $ \sqrt[9]{-1}. $

Для того чтобы определить, какие из данных выражений имеют смысл (определены в множестве действительных чисел), необходимо проанализировать показатель корня и подкоренное выражение для каждого случая. Основное правило для выражения $\sqrt[n]{a}$ гласит:

1. Если показатель корня $n$ — четное натуральное число ($n = 2, 4, 6, \dots$), то подкоренное выражение $a$ должно быть неотрицательным, то есть $a \ge 0$.
2. Если показатель корня $n$ — нечетное натуральное число ($n = 3, 5, 7, \dots$), то подкоренное выражение $a$ может быть любым действительным числом.

Проверим каждое выражение на соответствие этим правилам.

а) $\sqrt[8]{2}$

Показатель корня $n = 8$ является четным числом. Подкоренное выражение $a = 2$ является положительным ($2 > 0$). Так как условие $a \ge 0$ для корня четной степени выполняется, данное выражение имеет смысл.

Ответ: выражение имеет смысл.

б) $\sqrt[6]{-11}$

Показатель корня $n = 6$ является четным числом. Подкоренное выражение $a = -11$ является отрицательным. Так как для корня четной степени подкоренное выражение не может быть отрицательным, данное выражение не имеет смысла в множестве действительных чисел.

Ответ: выражение не имеет смысла.

в) $\sqrt[5]{7}$

Показатель корня $n = 5$ является нечетным числом. Корень нечетной степени определен для любого действительного подкоренного выражения. В данном случае $a = 7$, что является действительным числом. Следовательно, выражение имеет смысл.

Ответ: выражение имеет смысл.

г) $\sqrt[3]{-5}$

Показатель корня $n = 3$ является нечетным числом. Корень нечетной степени определен для любого действительного числа, включая отрицательные. В данном случае $a = -5$. Следовательно, выражение имеет смысл.

Ответ: выражение имеет смысл.

д) $\sqrt[10]{0}$

Показатель корня $n = 10$ является четным числом. Подкоренное выражение $a = 0$. Условие $a \ge 0$ выполняется. Следовательно, выражение имеет смысл (его значение равно 0).

Ответ: выражение имеет смысл.

е) $\sqrt[9]{-1}$

Показатель корня $n = 9$ является нечетным числом. Корень нечетной степени определен для любого действительного числа. В данном случае $a = -1$. Следовательно, выражение имеет смысл (его значение равно -1).

Ответ: выражение имеет смысл.