Номер 21, страница 168 - гдз по алгебре 11 класс учебник Арефьева, Пирютко

21. Воспользуйтесь формулами преобразования суммы тригонометрических функций в произведение и докажите, что:

a) $ \cos105^{\circ} + \cos15^{\circ} = \frac{\sqrt{2}}{2} $

б) $ \sin\frac{3\pi}{10} + \sin\frac{11\pi}{10} = \frac{1}{2} $

в) $ \sin\frac{7\pi}{12} - \sin\frac{5\pi}{12} = 0. $

а)

Для доказательства равенства воспользуемся формулой преобразования суммы косинусов в произведение:

$cos \alpha + cos \beta = 2 \cdot cos \frac{\alpha + \beta}{2} \cdot cos \frac{\alpha - \beta}{2}$

В нашем случае $\alpha = 105^\circ$ и $\beta = 15^\circ$.

Подставим эти значения в формулу:

$cos 105^\circ + cos 15^\circ = 2 \cdot cos \frac{105^\circ + 15^\circ}{2} \cdot cos \frac{105^\circ - 15^\circ}{2}$

Выполним вычисления в аргументах косинусов:

$\frac{105^\circ + 15^\circ}{2} = \frac{120^\circ}{2} = 60^\circ$

$\frac{105^\circ - 15^\circ}{2} = \frac{90^\circ}{2} = 45^\circ$

Теперь подставим полученные значения обратно в выражение:

$2 \cdot cos 60^\circ \cdot cos 45^\circ$

Мы знаем табличные значения косинусов:

$cos 60^\circ = \frac{1}{2}$

$cos 45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2}$

Подставляем эти значения:

$2 \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = 1 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{\sqrt{2}}{2}$

Таким образом, мы доказали, что $cos 105^\circ + cos 15^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2}$.

Ответ: Равенство доказано.

б)

Для доказательства равенства воспользуемся формулой преобразования суммы синусов в произведение:

$sin \alpha + sin \beta = 2 \cdot sin \frac{\alpha + \beta}{2} \cdot cos \frac{\alpha - \beta}{2}$

В нашем случае $\alpha = \frac{3\pi}{10}$ и $\beta = \frac{11\pi}{10}$.

Подставим эти значения в формулу:

$sin \frac{3\pi}{10} + sin \frac{11\pi}{10} = 2 \cdot sin \frac{\frac{3\pi}{10} + \frac{11\pi}{10}}{2} \cdot cos \frac{\frac{3\pi}{10} - \frac{11\pi}{10}}{2}$

Выполним вычисления в аргументах:

$\frac{\frac{3\pi}{10} + \frac{11\pi}{10}}{2} = \frac{\frac{14\pi}{10}}{2} = \frac{7\pi}{10}$

$\frac{\frac{3\pi}{10} - \frac{11\pi}{10}}{2} = \frac{-\frac{8\pi}{10}}{2} = -\frac{4\pi}{10} = -\frac{2\pi}{5}$

Подставляем полученные значения обратно:

$2 \cdot sin(\frac{7\pi}{10}) \cdot cos(-\frac{2\pi}{5})$

Используем свойство четности косинуса $cos(-x) = cos(x)$:

$2 \cdot sin(\frac{7\pi}{10}) \cdot cos(\frac{2\pi}{5})$

Применим формулы приведения. Заметим, что $\frac{7\pi}{10} = \pi - \frac{3\pi}{10}$, поэтому $sin(\frac{7\pi}{10}) = sin(\pi - \frac{3\pi}{10}) = sin(\frac{3\pi}{10})$.

Также, используя формулу кофункции: $sin(\frac{3\pi}{10}) = sin(\frac{\pi}{2} - \frac{2\pi}{10}) = sin(\frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{5}) = cos(\frac{\pi}{5})$.

Таким образом, наше выражение преобразуется к виду:

$2 \cdot cos(\frac{\pi}{5}) \cdot cos(\frac{2\pi}{5})$

Для дальнейшего упрощения умножим и разделим выражение на $sin(\frac{\pi}{5})$ (это возможно, так как $sin(\frac{\pi}{5}) \neq 0$):

$\frac{2 \cdot sin(\frac{\pi}{5}) \cdot cos(\frac{\pi}{5}) \cdot cos(\frac{2\pi}{5})}{sin(\frac{\pi}{5})}$

Используя формулу синуса двойного угла $sin(2\theta) = 2sin(\theta)cos(\theta)$, получаем:

$\frac{sin(2 \cdot \frac{\pi}{5}) \cdot cos(\frac{2\pi}{5})}{sin(\frac{\pi}{5})} = \frac{sin(\frac{2\pi}{5}) \cdot cos(\frac{2\pi}{5})}{sin(\frac{\pi}{5})}$

Снова применяем формулу синуса двойного угла, умножив числитель и знаменатель на 2:

$\frac{2 \cdot sin(\frac{2\pi}{5}) \cdot cos(\frac{2\pi}{5})}{2 \cdot sin(\frac{\pi}{5})} = \frac{sin(2 \cdot \frac{2\pi}{5})}{2 \cdot sin(\frac{\pi}{5})} = \frac{sin(\frac{4\pi}{5})}{2 \cdot sin(\frac{\pi}{5})}$

Используем формулу приведения $sin(\frac{4\pi}{5}) = sin(\pi - \frac{\pi}{5}) = sin(\frac{\pi}{5})$.

Подставляем это в наше выражение:

$\frac{sin(\frac{\pi}{5})}{2 \cdot sin(\frac{\pi}{5})} = \frac{1}{2}$

Таким образом, мы доказали, что $sin \frac{3\pi}{10} + sin \frac{11\pi}{10} = \frac{1}{2}$.

Ответ: Равенство доказано.

в)

Для доказательства равенства воспользуемся формулой преобразования разности синусов в произведение:

$sin \alpha - sin \beta = 2 \cdot cos \frac{\alpha + \beta}{2} \cdot sin \frac{\alpha - \beta}{2}$

В нашем случае $\alpha = \frac{7\pi}{12}$ и $\beta = \frac{5\pi}{12}$.

Подставим эти значения в формулу:

$sin \frac{7\pi}{12} - sin \frac{5\pi}{12} = 2 \cdot cos \frac{\frac{7\pi}{12} + \frac{5\pi}{12}}{2} \cdot sin \frac{\frac{7\pi}{12} - \frac{5\pi}{12}}{2}$

Выполним вычисления в аргументах:

$\frac{\frac{7\pi}{12} + \frac{5\pi}{12}}{2} = \frac{\frac{12\pi}{12}}{2} = \frac{\pi}{2}$

$\frac{\frac{7\pi}{12} - \frac{5\pi}{12}}{2} = \frac{\frac{2\pi}{12}}{2} = \frac{\frac{\pi}{6}}{2} = \frac{\pi}{12}$

Теперь подставим полученные значения обратно в выражение:

$2 \cdot cos(\frac{\pi}{2}) \cdot sin(\frac{\pi}{12})$

Мы знаем, что $cos(\frac{\pi}{2}) = 0$.

Подставляем это значение:

$2 \cdot 0 \cdot sin(\frac{\pi}{12}) = 0$

Таким образом, мы доказали, что $sin \frac{7\pi}{12} - sin \frac{5\pi}{12} = 0$.

Ответ: Равенство доказано.