Номер 14, страница 166 - гдз по алгебре 11 класс учебник Арефьева, Пирютко

14. Найдите значение выражения:

а) $\sin^2 495^\circ - \cos^2(-750^\circ)$;

б) $\operatorname{tg}^2 \frac{7\pi}{6} + \operatorname{ctg}^3 \frac{7\pi}{4}$.

а) $sin^2 495^\circ - cos^2(-750^\circ)$
Для решения этой задачи воспользуемся свойствами тригонометрических функций: периодичностью и четностью/нечетностью, а также формулами приведения.
1. Упростим $sin^2 495^\circ$.
Функция синус имеет период $360^\circ$, поэтому мы можем вычесть $360^\circ$ из аргумента:
$sin(495^\circ) = sin(495^\circ - 360^\circ) = sin(135^\circ)$
Теперь используем формулу приведения $sin(180^\circ - \alpha) = sin(\alpha)$:
$sin(135^\circ) = sin(180^\circ - 45^\circ) = sin(45^\circ) = \frac{\sqrt{2}}{2}$
Возведем в квадрат:
$sin^2 495^\circ = (sin(45^\circ))^2 = (\frac{\sqrt{2}}{2})^2 = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$
2. Упростим $cos^2(-750^\circ)$.
Функция косинус является четной, то есть $cos(-\alpha) = cos(\alpha)$:
$cos(-750^\circ) = cos(750^\circ)$
Функция косинус имеет период $360^\circ$, поэтому мы можем вычесть кратное $360^\circ$ из аргумента. $2 \cdot 360^\circ = 720^\circ$.
$cos(750^\circ) = cos(750^\circ - 720^\circ) = cos(30^\circ)$
Значение косинуса $30^\circ$ равно $\frac{\sqrt{3}}{2}$.
Возведем в квадрат:
$cos^2(-750^\circ) = (cos(30^\circ))^2 = (\frac{\sqrt{3}}{2})^2 = \frac{3}{4}$
3. Найдем значение исходного выражения:
$sin^2 495^\circ - cos^2(-750^\circ) = \frac{1}{2} - \frac{3}{4} = \frac{2}{4} - \frac{3}{4} = -\frac{1}{4}$
Ответ: $-\frac{1}{4}$

б) $tg^2\frac{7\pi}{6} + ctg^3\frac{7\pi}{4}$
Для решения этой задачи воспользуемся свойством периодичности тангенса и котангенса и формулами приведения.
1. Упростим $tg^2\frac{7\pi}{6}$.
Функция тангенс имеет период $\pi$. Представим аргумент в виде $\frac{7\pi}{6} = \pi + \frac{\pi}{6}$:
$tg(\frac{7\pi}{6}) = tg(\pi + \frac{\pi}{6}) = tg(\frac{\pi}{6})$
Значение тангенса $\frac{\pi}{6}$ равно $\frac{1}{\sqrt{3}}$.
Возведем в квадрат:
$tg^2\frac{7\pi}{6} = (tg(\frac{\pi}{6}))^2 = (\frac{1}{\sqrt{3}})^2 = \frac{1}{3}$
2. Упростим $ctg^3\frac{7\pi}{4}$.
Функция котангенс имеет период $\pi$. Представим аргумент в виде $\frac{7\pi}{4} = 2\pi - \frac{\pi}{4}$:
$ctg(\frac{7\pi}{4}) = ctg(2\pi - \frac{\pi}{4}) = ctg(-\frac{\pi}{4})$
Функция котангенс является нечетной, то есть $ctg(-\alpha) = -ctg(\alpha)$:
$ctg(-\frac{\pi}{4}) = -ctg(\frac{\pi}{4}) = -1$
Возведем в куб:
$ctg^3\frac{7\pi}{4} = (-1)^3 = -1$
3. Найдем значение исходного выражения:
$tg^2\frac{7\pi}{6} + ctg^3\frac{7\pi}{4} = \frac{1}{3} + (-1) = \frac{1}{3} - 1 = \frac{1}{3} - \frac{3}{3} = -\frac{2}{3}$
Ответ: $-\frac{2}{3}$