Номер 13, страница 166 - гдз по алгебре 11 класс учебник Арефьева, Пирютко

13. Вычислите:

a) $\sin225^\circ\cos120^\circ\operatorname{ctg}330^\circ\operatorname{tg}210^\circ$;

б) $\sin \frac{7\pi}{4}\cos \frac{7\pi}{6}\operatorname{tg}\frac{5\pi}{3}\operatorname{ctg}\frac{4\pi}{3}$.

a) Для вычисления значения выражения $\sin(225^\circ)\cos(120^\circ)\text{ctg}(330^\circ)\text{tg}(210^\circ)$ воспользуемся формулами приведения и значениями тригонометрических функций для основных углов.

1. Найдем значение каждого множителя:

• $\sin(225^\circ) = \sin(180^\circ + 45^\circ) = -\sin(45^\circ) = -\frac{\sqrt{2}}{2}$. Угол $225^\circ$ находится в III четверти, где синус отрицательный.
• $\cos(120^\circ) = \cos(180^\circ - 60^\circ) = -\cos(60^\circ) = -\frac{1}{2}$. Угол $120^\circ$ находится во II четверти, где косинус отрицательный.
• $\text{ctg}(330^\circ) = \text{ctg}(360^\circ - 30^\circ) = -\text{ctg}(30^\circ) = -\sqrt{3}$. Угол $330^\circ$ находится в IV четверти, где котангенс отрицательный.
• $\text{tg}(210^\circ) = \text{tg}(180^\circ + 30^\circ) = \text{tg}(30^\circ) = \frac{1}{\sqrt{3}}$. Угол $210^\circ$ находится в III четверти, где тангенс положительный.

2. Перемножим полученные значения:

$\sin(225^\circ)\cos(120^\circ)\text{ctg}(330^\circ)\text{tg}(210^\circ) = \left(-\frac{\sqrt{2}}{2}\right) \cdot \left(-\frac{1}{2}\right) \cdot (-\sqrt{3}) \cdot \left(\frac{1}{\sqrt{3}}\right)$

$= \frac{\sqrt{2}}{4} \cdot (-\sqrt{3}) \cdot \left(\frac{1}{\sqrt{3}}\right) = \frac{\sqrt{2}}{4} \cdot (-1) = -\frac{\sqrt{2}}{4}$.

Ответ: $-\frac{\sqrt{2}}{4}$.

б) Для вычисления значения выражения $\sin\frac{7\pi}{4}\cos\frac{7\pi}{6}\text{tg}\frac{5\pi}{3}\text{ctg}\frac{4\pi}{3}$ также воспользуемся формулами приведения.

1. Найдем значение каждого множителя:

• $\sin\frac{7\pi}{4} = \sin(2\pi - \frac{\pi}{4}) = -\sin\frac{\pi}{4} = -\frac{\sqrt{2}}{2}$. Угол $\frac{7\pi}{4}$ находится в IV четверти, где синус отрицательный.
• $\cos\frac{7\pi}{6} = \cos(\pi + \frac{\pi}{6}) = -\cos\frac{\pi}{6} = -\frac{\sqrt{3}}{2}$. Угол $\frac{7\pi}{6}$ находится в III четверти, где косинус отрицательный.
• $\text{tg}\frac{5\pi}{3} = \text{tg}(2\pi - \frac{\pi}{3}) = -\text{tg}\frac{\pi}{3} = -\sqrt{3}$. Угол $\frac{5\pi}{3}$ находится в IV четверти, где тангенс отрицательный.
• $\text{ctg}\frac{4\pi}{3} = \text{ctg}(\pi + \frac{\pi}{3}) = \text{ctg}\frac{\pi}{3} = \frac{1}{\sqrt{3}}$. Угол $\frac{4\pi}{3}$ находится в III четверти, где котангенс положительный.

2. Перемножим полученные значения:

$\sin\frac{7\pi}{4}\cos\frac{7\pi}{6}\text{tg}\frac{5\pi}{3}\text{ctg}\frac{4\pi}{3} = \left(-\frac{\sqrt{2}}{2}\right) \cdot \left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right) \cdot (-\sqrt{3}) \cdot \left(\frac{1}{\sqrt{3}}\right)$

$= \frac{\sqrt{6}}{4} \cdot (-\sqrt{3}) \cdot \left(\frac{1}{\sqrt{3}}\right) = \frac{\sqrt{6}}{4} \cdot (-1) = -\frac{\sqrt{6}}{4}$.

Ответ: $-\frac{\sqrt{6}}{4}$.