Номер 20, страница 168 - гдз по алгебре 11 класс учебник Арефьева, Пирютко

20. Найдите $\sin 2\alpha$, $\cos 2\alpha$, $\text{tg } 2\alpha$, если $\sin \alpha = -\frac{4}{5}$, $\alpha \in \left(\pi; \frac{3\pi}{2}\right)$.

По условию задачи, угол $ \alpha $ находится в интервале $ (\pi; \frac{3\pi}{2}) $, что соответствует третьей координатной четверти. В этой четверти синус и косинус отрицательны.

Нам дано значение синуса: $ \sin\alpha = -\frac{4}{5} $. Для нахождения тригонометрических функций двойного угла нам также понадобится значение косинуса. Найдем $ \cos\alpha $ с помощью основного тригонометрического тождества $ \sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1 $.

$ \cos^2\alpha = 1 - \sin^2\alpha $

$ \cos^2\alpha = 1 - (-\frac{4}{5})^2 = 1 - \frac{16}{25} = \frac{25-16}{25} = \frac{9}{25} $

$ \cos\alpha = \pm\sqrt{\frac{9}{25}} = \pm\frac{3}{5} $

Поскольку угол $ \alpha $ лежит в третьей четверти, его косинус отрицателен. Следовательно, $ \cos\alpha = -\frac{3}{5} $.

Теперь мы можем вычислить требуемые значения.

sin2α

Для вычисления синуса двойного угла воспользуемся формулой $ \sin(2\alpha) = 2\sin\alpha\cos\alpha $.

Подставим известные значения $ \sin\alpha $ и $ \cos\alpha $:

$ \sin(2\alpha) = 2 \cdot (-\frac{4}{5}) \cdot (-\frac{3}{5}) = 2 \cdot \frac{12}{25} = \frac{24}{25} $

Ответ: $ \frac{24}{25} $.

cos2α

Для вычисления косинуса двойного угла можно использовать одну из трех формул. Воспользуемся формулой $ \cos(2\alpha) = \cos^2\alpha - \sin^2\alpha $.

Подставим известные значения:

$ \cos(2\alpha) = (-\frac{3}{5})^2 - (-\frac{4}{5})^2 = \frac{9}{25} - \frac{16}{25} = -\frac{7}{25} $

Ответ: $ -\frac{7}{25} $.

tg2α

Тангенс двойного угла можно найти по определению, разделив синус двойного угла на его косинус: $ \text{tg}(2\alpha) = \frac{\sin(2\alpha)}{\cos(2\alpha)} $.

Подставим найденные ранее значения $ \sin(2\alpha) $ и $ \cos(2\alpha) $:

$ \text{tg}(2\alpha) = \frac{\frac{24}{25}}{-\frac{7}{25}} = \frac{24}{25} \cdot (-\frac{25}{7}) = -\frac{24}{7} $

Ответ: $ -\frac{24}{7} $.