Номер 26, страница 169 - гдз по алгебре 11 класс учебник Арефьева, Пирютко

26. Воспользуйтесь определением корня n-й степени из числа и найдите значение выражения:

а) $ \sqrt[4]{10000} + \sqrt[3]{0.125}; $

б) $ -\sqrt[4]{0.0001} + \sqrt[8]{1}; $

в) $ \sqrt[3]{\frac{8}{27}} - \sqrt[5]{-0.00001}; $

г) $ -\sqrt[5]{0.00032} \cdot \sqrt[3]{8000}; $

д) $ -\sqrt[3]{-343} \cdot \sqrt[4]{64}; $

е) $ 6 \cdot \sqrt{\frac{1}{81}} - \sqrt[3]{-\frac{64}{27}}; $

ж) $ 4\sqrt[3]{-\frac{125}{8}} - \frac{2}{3}\sqrt[4]{81}; $

з) $ -0.2\sqrt[3]{-\frac{125}{64}} : \sqrt[5]{-\frac{32}{243}}. $

а) $\sqrt[4]{10000} + \sqrt[3]{0,125}$
Для решения найдём значение каждого корня по отдельности.
Корень четвёртой степени из $10000$ – это число, которое при возведении в четвёртую степень даёт $10000$. Это число $10$, так как $10^4 = 10000$. Значит, $\sqrt[4]{10000} = 10$.
Корень третьей степени из $0,125$ – это число, которое при возведении в третью степень даёт $0,125$. Это число $0,5$, так как $0,5^3 = 0,125$. Значит, $\sqrt[3]{0,125} = 0,5$.
Теперь сложим полученные значения: $10 + 0,5 = 10,5$.
Ответ: $10,5$.

б) $-\sqrt[4]{0,0001} + \sqrt[8]{1}$
Вычислим каждое слагаемое.
$\sqrt[4]{0,0001} = \sqrt[4]{(0,1)^4} = 0,1$.
$\sqrt[8]{1} = 1$, так как $1^8 = 1$.
Подставим значения в исходное выражение: $-0,1 + 1 = 0,9$.
Ответ: $0,9$.

в) $\sqrt[3]{\frac{8}{27}} - \sqrt[5]{-0,00001}$
Вычислим значение каждого члена выражения.
$\sqrt[3]{\frac{8}{27}} = \frac{\sqrt[3]{8}}{\sqrt[3]{27}} = \frac{2}{3}$, так как $2^3 = 8$ и $3^3 = 27$.
$\sqrt[5]{-0,00001} = \sqrt[5]{(-0,1)^5} = -0,1$.
Теперь выполним вычитание: $\frac{2}{3} - (-0,1) = \frac{2}{3} + 0,1 = \frac{2}{3} + \frac{1}{10}$.
Приведём дроби к общему знаменателю $30$: $\frac{2 \cdot 10}{3 \cdot 10} + \frac{1 \cdot 3}{10 \cdot 3} = \frac{20}{30} + \frac{3}{30} = \frac{23}{30}$.
Ответ: $\frac{23}{30}$.

г) $-\sqrt[5]{0,00032} \cdot \sqrt[3]{8000}$
Вычислим каждый множитель.
$\sqrt[5]{0,00032} = \sqrt[5]{(0,2)^5} = 0,2$, так как $0,2^5 = 0,00032$.
$\sqrt[3]{8000} = \sqrt[3]{20^3} = 20$, так как $20^3 = 8000$.
Теперь выполним умножение: $-0,2 \cdot 20 = -4$.
Ответ: $-4$.

д) $\sqrt[3]{-343} \cdot \sqrt[4]{64}$
Вычислим каждый множитель.
$\sqrt[3]{-343} = \sqrt[3]{(-7)^3} = -7$.
$\sqrt[4]{64} = \sqrt[4]{2^6} = (2^6)^{\frac{1}{4}} = 2^{\frac{6}{4}} = 2^{\frac{3}{2}} = \sqrt{2^3} = \sqrt{8} = \sqrt{4 \cdot 2} = 2\sqrt{2}$.
Теперь выполним умножение: $-7 \cdot 2\sqrt{2} = -14\sqrt{2}$.
Ответ: $-14\sqrt{2}$.

е) $6 \cdot \sqrt{\frac{1}{81}} - 3\sqrt[3]{-2\frac{10}{27}}$
Вычислим значение каждого члена выражения.
Первый член: $6 \cdot \sqrt{\frac{1}{81}} = 6 \cdot \frac{1}{9} = \frac{6}{9} = \frac{2}{3}$.
Второй член: Сначала преобразуем смешанную дробь в неправильную: $-2\frac{10}{27} = -\frac{2 \cdot 27 + 10}{27} = -\frac{54+10}{27} = -\frac{64}{27}$.
Теперь вычислим корень: $3\sqrt[3]{-\frac{64}{27}} = 3 \cdot \left(-\frac{\sqrt[3]{64}}{\sqrt[3]{27}}\right) = 3 \cdot \left(-\frac{4}{3}\right) = -4$.
Выполним вычитание: $\frac{2}{3} - (-4) = \frac{2}{3} + 4 = 4\frac{2}{3}$.
Ответ: $4\frac{2}{3}$.

ж) $4\sqrt[3]{-15\frac{5}{8}} - \frac{2}{3}\sqrt[4]{81}$
Вычислим значение каждого члена выражения.
Первый член: Преобразуем смешанную дробь: $-15\frac{5}{8} = -\frac{15 \cdot 8 + 5}{8} = -\frac{125}{8}$.
$4\sqrt[3]{-\frac{125}{8}} = 4 \cdot \left(-\frac{\sqrt[3]{125}}{\sqrt[3]{8}}\right) = 4 \cdot \left(-\frac{5}{2}\right) = -10$.
Второй член: $\frac{2}{3}\sqrt[4]{81} = \frac{2}{3} \cdot 3 = 2$.
Выполним вычитание: $-10 - 2 = -12$.
Ответ: $-12$.

з) $-0,2\sqrt[3]{-1\frac{61}{64}} : \sqrt[5]{-\frac{32}{243}}$
Вычислим делимое и делитель.
Делимое: Преобразуем смешанную дробь: $-1\frac{61}{64} = -\frac{1 \cdot 64 + 61}{64} = -\frac{125}{64}$.
$-0,2\sqrt[3]{-\frac{125}{64}} = -\frac{1}{5} \cdot \sqrt[3]{\left(-\frac{5}{4}\right)^3} = -\frac{1}{5} \cdot \left(-\frac{5}{4}\right) = \frac{1}{4}$.
Делитель: $\sqrt[5]{-\frac{32}{243}} = \sqrt[5]{\left(-\frac{2}{3}\right)^5} = -\frac{2}{3}$.
Выполним деление: $\frac{1}{4} : \left(-\frac{2}{3}\right) = \frac{1}{4} \cdot \left(-\frac{3}{2}\right) = -\frac{3}{8}$.
Ответ: $-\frac{3}{8}$.