Номер 33, страница 170 - гдз по алгебре 11 класс учебник Арефьева, Пирютко

33. Вычислите значение выражения:

а) $8\sqrt[3]{4} \cdot \sqrt[3]{-16};$

б) $-2\sqrt[5]{27} \cdot 5\sqrt[5]{9};$

в) $4\sqrt[3]{128} : \sqrt[3]{-2000};$

г) $3\sqrt[4]{10} : (0,2\sqrt[4]{100\,000}).$

а)

Чтобы вычислить значение выражения $8\sqrt[3]{4} \cdot \sqrt[3]{-16}$, используем свойство произведения корней одинаковой степени: $\sqrt[n]{a} \cdot \sqrt[n]{b} = \sqrt[n]{ab}$.

$8\sqrt[3]{4} \cdot \sqrt[3]{-16} = 8 \cdot \sqrt[3]{4 \cdot (-16)} = 8 \cdot \sqrt[3]{-64}$

Кубический корень из -64 равен -4, так как $(-4)^3 = -64$.

Подставляем это значение в выражение:

$8 \cdot (-4) = -32$

Ответ: -32

б)

Чтобы вычислить значение выражения $-2\sqrt[5]{27} \cdot 5\sqrt[5]{9}$, сначала перемножим коэффициенты перед корнями, а затем воспользуемся свойством произведения корней $\sqrt[n]{a} \cdot \sqrt[n]{b} = \sqrt[n]{ab}$.

$-2\sqrt[5]{27} \cdot 5\sqrt[5]{9} = (-2 \cdot 5) \cdot (\sqrt[5]{27} \cdot \sqrt[5]{9}) = -10 \cdot \sqrt[5]{27 \cdot 9}$

Вычислим произведение под корнем. Удобно представить числа в виде степеней:

$27 \cdot 9 = 3^3 \cdot 3^2 = 3^{3+2} = 3^5 = 243$.

Подставляем результат в выражение:

$-10 \cdot \sqrt[5]{243} = -10 \cdot \sqrt[5]{3^5} = -10 \cdot 3 = -30$.

Ответ: -30

в)

Чтобы вычислить значение выражения $4\sqrt[3]{128} : \sqrt[3]{-2000}$, используем свойство частного корней одинаковой степени: $\sqrt[n]{a} : \sqrt[n]{b} = \sqrt[n]{a/b}$.

$4\sqrt[3]{128} : \sqrt[3]{-2000} = 4 \cdot \frac{\sqrt[3]{128}}{\sqrt[3]{-2000}} = 4 \cdot \sqrt[3]{\frac{128}{-2000}}$

Сократим дробь под знаком корня:

$\frac{128}{-2000} = -\frac{128}{2000} = -\frac{128:16}{2000:16} = -\frac{8}{125}$

Теперь вычислим значение выражения:

$4 \cdot \sqrt[3]{-\frac{8}{125}} = 4 \cdot \left(-\frac{\sqrt[3]{8}}{\sqrt[3]{125}}\right) = 4 \cdot \left(-\frac{2}{5}\right) = -\frac{8}{5} = -1,6$

Ответ: -1,6

г)

Чтобы вычислить значение выражения $3\sqrt[4]{10} : (0,2\sqrt[4]{100\,000})$, представим его в виде дроби и воспользуемся свойством частного корней $\sqrt[n]{a} / \sqrt[n]{b} = \sqrt[n]{a/b}$.

$\frac{3\sqrt[4]{10}}{0,2\sqrt[4]{100\,000}} = \frac{3}{0,2} \cdot \frac{\sqrt[4]{10}}{\sqrt[4]{100\,000}} = \frac{3}{0,2} \cdot \sqrt[4]{\frac{10}{100\,000}}$

Вычислим частное коэффициентов:

$\frac{3}{0,2} = \frac{3}{2/10} = \frac{3 \cdot 10}{2} = 15$

Упростим выражение под корнем:

$\frac{10}{100\,000} = \frac{1}{10\,000}$

Подставим полученные значения в выражение:

$15 \cdot \sqrt[4]{\frac{1}{10\,000}} = 15 \cdot \frac{\sqrt[4]{1}}{\sqrt[4]{10\,000}} = 15 \cdot \frac{1}{\sqrt[4]{10^4}} = 15 \cdot \frac{1}{10} = \frac{15}{10} = 1,5$

Ответ: 1,5